奥数知识点：数的整除与余数

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除. ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 练习1：判断123456789这九位数能否被11整除?

练习2：判断1059282是否是7的倍数?

练习3：判断3782651能否被13整除?

整除问题练习：

例1：有一个能同时被2、3、5整除的数，已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12，那么，这个数的个位上的数字是( )。 例2：能被5、4、3整除的最大四位数是( )。 例3：四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____

例4：在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 例5：173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 例6：一个两位数或三位数，是11的倍数，且它的各位数字和为17，这样的数最大是 ( )。

例7：有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。

例8：上课时，小丸子的老师告诉大家：“数字中存在这样一些四位数，将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被4整除，后面的数能被5整除。而这个四位数本身还能被7整除。”小丸子通过一系列计算知道了所有这样的四位数中最小的一个，那么它应该是( )。

例9：在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？

例10：试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13。 例11：42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？

例12：从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少号？

例13：三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元？

例14：小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个完全相同的文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗？

例15：小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，

能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢？ 例16：1-100内，所有不能被3整除的数的和是（）

例17：在1-1040间选出一些数，使任意两数之和是34的整数倍，最多可选( )个。 例18：例19：

例20：

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练习1：1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 练习2：一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

练习3：有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

练习4：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。

练习5：一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。 练习6：有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.