§ 6.1 测地曲率
1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。
证明： 设旋转面方程为r?{f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)}??f2(v)(du)2?(f?2(v)?g?2(v))(dv)2E?f2(v),G?f?2(v)?g?2(v)，
，
纬线即u—曲线：v?v（常数），
01?lnE1?lnf2??其测地曲率为kgu??
'2'2?v2G?v2f?g??
2、
f'(v0)f(v0)f(v0)?g(v0)'2'2为常数。
证明：在球面S
???u?,0?v?2? 22r?(acosucosv,acosusinv,asinu)，
?上，曲线
C的测地曲率可表示成
d?(s)dv(s)kg??sin(u(s)) ， dsds其中(u(s),v(s))是球面S上曲线C的参数方程，
s是曲线C的弧长参数，
?(s)是曲线C与球面上经线（即u-曲
线）之间的夹角。
证明 易求出E?a, F?0,G?acosu,
222因此
kg?d?1?lnE1?lnG?cos??sin?ds2G?v2E?u
d?1?ln(a2cos2u)??sin?ds2a?u
?d?sinu?sin?dsacosu，
，
?而dvds11sin??sin?acosuG故 kg?d?dv?sinudsds。
3、证明：在曲面S的一般参数系(u,v)下，曲线C:u?u(s),v?v(s)的测地曲率是
kg?g(Bu?(s)?Av?(s)?u?(s)v??(s)?v?(s)u??(s))其中s，
2是曲线C的弧长参数，g?EG?F，
并且
A??(u?(s))?2?u?(s)v?(s)??(v?(s))，
11121121222222B??11(u?(s))2?2?12u?(s)v?(s)??22(v?(s))2
特别是，参数曲线的测地曲率分别为
gv
2kgu?g?11(u?(s))3，k?3??g?122(v(s)) 。
证明 设曲面S参数方程为r?r(u1,u2)，C:u1?u1(s),u2?u2(s)
曲面S上的曲线的参数方程为C:u1?u1(s),u2?u2(s)，s为C的弧长参数；
n为S上沿C的法向量；
曲线r?r(s)?r(u1(s),u2(s))，
2而 r?(s)??rduiii?1ds，
2r?kij??ijrk?bijnk?1，
2r??(s)?i?rduiduj2d2uiij,j?1dsds??rii?1ds2，
2???kduiduj2duiduj2d2ukijrk?i,j,k?1dsdsi?bij,j?1dsdsn??k?1ds2rk
222??(duk?k?1dsi??kduiduj2duiduj2ij)r,j?1dsdsk?i?bij,j?1dsdsn，代入计算kg?(r?,r??,n)
2??2??duirduj2i,?i?1ds?2(d2ukkduiduiduj2?k?1dsi??ij)rk?,j?1dsds?biji,j?1dsdsn,?[du21d2udujds(22duids2???iji,j?1dsds) n???
du2d2u121duiduj?(2???ij)](r1,r2,n)，
dsdsdsdsi,j?1由此得到
2dujdu1d2u22duikg?g[(2???ij)dsdsdsdsi,j?1du2d2u121duiduj?(2???ij)]，
dsdsdsdsi,j?1以上是测地曲率的一般计算公式。 换回参变量u1?u,u2?v，即可得到结果。
4．若曲面
S：r?r(u,v)上曲线C:u = u(t),v = v(t),t为曲线C上的任意参数，试导出测地曲率kg的计算公式。
解 由于?g?r???(r,r,n) ，
dsds2d2s而r'?r,r''?r()?r2 ，
dtdtdt所以
dsds2d2sds?r',r'',n??[r?(r()?r2)]n?(r,r,n)()3??g||r'||3，
dtdtdtdt所以?g(t)?(r'(t),r''(t),n(t))；
||r'(t)||3记
u?u1,v?u2，
i 又r'??ridui， dtduidujd2uir''??rij??ri2
i,jdtdtidtduidujduidujd2uk???rk??bijn??2rk ， i,j,ki,jkdtdtdtdtdtkij从而(r',r'',n)?(r'?r'')?n
dujduidujdu1d2u2du2d2u12dui?[(2???ij)?(2???1)]g， iji,ji,jdtdtdtdtdtdtdtdtduiduj||r'||??gij，
dtdti,j由此得到：
dujdujgdu1d2u2du2d2u12dui1dui?g?[(2???ij)?(2???ij)]。
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i,ji,jdtdtdtdtdtdtdtdtduiduj3(?gij)2dtdti,j
x2y2z2xy5、求椭球面2?2?2?1上由平面??1所截的截线在点A?(a,0,0)的测地曲率。
abcabx2y2z2xyz6、求椭球面2?2?2?1上由平面???1所截的截线在点C?(0,0,c)的测地曲率。
abcabc
6、2 测地挠率
1、对曲面?上的曲线?的测地挠率， 有?g?1EG?F2[(ME?LF)(du2dudvdv)?(NE?LG)?(NF?MG)()2]. dsdsdsds证明 证法一 ?g?(n?(s)?r?(s))?n，