第3章动量定理及其守恒定律
第三章 动量定理及其守恒定律
习题解答
3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
?2??(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 r?(6t?1)ij（单位：米，秒）
解：∵a?d2r/dt运动。
??2????6???12??12ij, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而
F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为： ??arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'
?3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：r?acos?ti??bsin?t?j，a,b,
ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵a?d2r/dt??222???bsin?t????(acos?tij)???r
??2?F?ma??m?r, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？
解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为 f??加速度为
a?f/m??og?0.4?9.8?3.92m/s ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒，才能使谷物与
2omg，谷物能获得的最大
2
筛面发生相对运动。
μ1 m 1 μ2 m 2 F
3.5.3 题图 3.5.4题图
3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2
间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，
第3章动量定理及其守恒定律
y
x
f2 f1' m2g N2 N1' F a2 a1
N1
f1
m1g
其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有 ?1N1?m1a1F??1N1??N2?m2a22N1?m1g?0N2?N1?m2g?0 解方程组，得
a1??1ga2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2
要把木板从下面抽出来，必须满足a2?a1，即 F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g?F???1??2??m1?m2?g
3.5.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：
x' N1 f*=m1a2 y' α α m1g a' y N2 x a2
α m1 m2
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
?N1?m1gcos??m1a2sin??0???m1gsin??m1a2cos??m1a'?(1)(2)α N1'=N1 m2g
再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：
?(3)?N1sin??m2a2 （1）、（2）、（3）联立，即可求得：??N2?m2g?N1cos??0?(4)N1?m1m2cos?m2?m1sin?2ga'?(m1?m2)sin?m2?m1sin?2g
3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其
T a
N1 f1 m1g
T m1 m2 f2 f1 a
N2 N1 m2g
F F 第3章动量定理及其守恒定律
中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a② F?2?m1gm1?m2??g
①+②可求得：a?将a代入①中，可求得：T?m1(F?2?m1g)m1?m2
3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
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Ncos??fsin??mgNcos??mg?fsin?①
Nsin??fcos??manNsin??man?fcos?②x α N f α α=15°
y an mg ②/①得：tg??(man?fcos?)/(mg?fsin?) mgtg??fsin?tg??man?fcos?,f?m(gtg??an)cos??sin?tg?
?gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内
侧。
j，又有与之垂直的匀强磁场3.5.16速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场E?E????。现有带电粒子以速度vB?Bk?vi?进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持沿x轴运动？此装置用
?于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。