第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( ) A．x＝1，y＝1 13
C．x＝，y＝－
62
11
B．x＝，y＝－ 2212
D．x＝－，y＝
63
11
解析 由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝，x＝，y＝
363
－. 2
答案 C
2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( ) A．6 C．4
解析 a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5. 答案 B
3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为( )
A．3 C．1
B．2 1
D. 2B．5 D．3
解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2. 答案 B
4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( ) A．必要不充分条件 C．充分必要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，而a·b＝|a||b|.
1
∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0.
∴a与b共线．反之，若a与b共线，也可能a·b＝－|a|·|b|，因此应选B. 答案 B
5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和a
AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
3
A．相交 C．垂直
B．平行 D．不能确定
→→→→→→→
22
解析 MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA
33→→→→→
22
＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA) 33→→→22＝B1B＋BC＋DA. 33
→→→?→→→?→而CD是平面BB1C1C的一个法向量，且MN·CD＝?2B1B＋BC＋2DA?·CD＝
3??30，
→→
∴MN⊥CD.
又MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 答案 B
6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是( )
2
A．a C．c
解析 ∵a，b，c不共面，
B．b
D．以上都不对
∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可构成空间的一个基底． 答案 C
7．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 C.64 7
B．3 D.65 7
解析 BC的中点D的坐标为(2,1,4)， →
∴AD＝(－1，－2,2)． →
∴|AD|＝1＋4＋4＝3. 答案 B
8．与向量a＝(2,3,6)共线的单位向量是( ) 236A．(，，)
777236
B．(－，－，－) 777
236236
C．(，－，－)和(－，，) 777777236236D．(，，)和(－，－，－) 777777
1
解析 |a|＝22＋32＋62＝7，∴与a共线的单位向量是±(2,3,6)，故应选D.
7答案 D
9．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为( ) A．－3或1 C．－3
解析 由|a|＝6，a⊥b，
B．3或－1 D．1
3
2
?4＋16＋x＝36，?x＝4，?x＝－4，??得解得或? ?4＋4y＋2x＝0，?y＝－3，?y＝1.
∴x＋y＝1，或－3. 答案 A
10．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是( )
A．x>4 C．0 B．x<－4 D．－4 解析 ∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉<0，即3x＋2(2－x)<0，∴x<－4. 答案 B 11．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( ) A．30° C．60° B．45° D．90° 解析 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， →→ ∵AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)， →→由n·AB＝0及n·AC＝0，得 ?－5x－y＋z＝0，?令z＝1， ?－4x－2y－z＝0， 1313 得x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)． 2222 → 又AD＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，则 →3 －1＋＋3 2|AD·n|1 sinθ＝＝＝， →142 14×|AD||n|2∴θ＝30°. 答案 A 4 12．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.C.5 525 5 B.5 3 3D. 5 解析 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)， →→ …… 此处隐藏0字 …… ∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)． →→ →→ BC1·AB135 ∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝. →→355|BC1|·|AB1|答案 A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________. 5