2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题

2017年5月21日上午8:30??11:00

一、填空题（每题10分，共80分）

1、化简

112?211?123?32?134?43?…

?20162017?20172016? ．

2、若sinx?cosx?233，则sinx?cosx? ． 23、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 ． 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率

e? ．

5、函数y??4x?34x2?1的最小值是 ． 6、设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2?…?a2nx2n，则

a2?a4?a6?…?a2n? ．

1121237、将全体真分数排成这样的一个数列{an}：,,,,,,…，排序方法是：自左至

233444右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项a2017? ．

8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列{an}，若

，则 ． an?2017

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二、解答题（共70分）

9、（本题满分15分）数列{an}，{bn}满足：a1?b1?1，an?1?an?2bn，

bn?1?an?bn(n?1)．

证明：（1）、

333310、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a，b，c使得a?b，b?c，

a2n?1aaa（2）、n?1?2?n?2． ?2，2n?2；

b2n?1b2nbn?1bnc3?a3均是2017的倍数；证明：a2?b2?c2必是a?b?c的倍数．

22211、（本题满分20分）设P=｛1，2，3，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；

如果数n能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构．证明：每个自然数n都具有P结构．

12、（本题满分20分）如图，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，CD是经过点A的一条

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线段，其中，点C，D分别在⊙O1、⊙O2上，过线段CD上的任意一点K，作KM//BD，

KN//BC，点M，N分别在BC，BD上，又向?BCD形外方向，作ME?BC，BF?BD，其中E在⊙O1上，F在⊙O2上；证明：KE?KF．

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