十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解8导数与积分部分
一、选择题（共5小题；共25分） 1.
B.
C.
A.
D.
2. 直线 过抛物线 的焦点且与 轴垂直，则 与 所围成的图形的面积等于
A.
B.
C.
D.
3. 若数列 的通项公式是 于
A.
，则 等
B.
C.
D. 4. 若数列 的通项公式是
A.
等于 ， ，则
C.
B.
D.
5. 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 上的任意 ， ， 恒成立”的只有 A.
B. C.
D.
二、填空题（共8小题；共40分）
6. 是 的导函数，则 的值是 ．
7.
的值等于 ．
8. 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ， ， ，则 ；函数 在 处的导数 ．
9. 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ， ， ，则 ；
．（用数字作答）
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10. 过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．
11. 设 是偶函数．若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则该曲线在点
处的切线的斜率为 ． 12.
．
13. 设函数
①若 ，则 的最大值 ；
② 若 无最大值，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共19小题；共247分）
14. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的单调区间． 15. 设函数
， ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点． 16. 设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围． 17. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求证：当 时，
（3）设实数 使得 18. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在区间 上的最小值．
19. 设函数 ，且方程 的两个根分别为 ， ．
；
对 恒成立，求 的最大值．
（1）当 且曲线 过原点时，求 的解析式；
（2）若 在 内无极值点，求 的取值范围． 20. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围． 21. 已知函数 ， ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
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（2）当 ， 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范
围．
22. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形
的形状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ．
（1）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积 的最大值．
23. 已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间．
24. 已知函数 与 的图象相交于不同两点 ， ， 分别是
的图象在 两点的切线， 分别是 与 轴的交点． （1）求 的取值范围；
（2）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域和值
域；
（3）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点）．
25. 如图，在边长为 的等边 中，圆 为 的内切圆，圆 与圆 外切，且与 ，
相切，圆 与圆 外切，且与 ， 相切，如此无限继续下去．记圆 的面积为 ．
（1）证明 是等比数列；
（2）求 的值．
26. 设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若函数 有三个不同零点，求 的取值范围； （3）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件． 27. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求 的单调区间．
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28. 已知函数 ．
（1）求 在区间 上的最大值；
（2）若过点 存在 条直线与曲线 相切，求 的取值范围；
（3）问过点 ， ， 分别存在几条直线与曲线 相切?（只需写出结
论）
29. 已知函数 ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 的值； （2）当 时，求函数 的单调区间，并求其在区间 上的最大值． 30. 已知函数 ．
（1）求证： ；
（2）若
在 上恒成立，求 的最大值与 的最小值．
31. 函数 定义在 上，满足 且 ，在每个区间 上，
的图象都是平行于 轴的直线的一部分．
（1）求 及 的值，并归纳出 的表达式；
（2）设直线 轴及 的图象围成的矩形的面积为 ，求 ，
的值． 及
32. 函数 是定义在 上的增函数，满足 且 ，在每个区间
上， 的图象都是斜率为同一常数 的直线的一部分． （1）求 及 ， 的值，并归纳出 的表达式； （2）设直线 ，
， 轴及 的图象围成的梯形的面积为 ，记
，求 的表达式，并写出其定义域和最小值．
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答案
第一部分 1. D 2. C
【解析】
，
．
【解析】由题意可知，l的方程为 ．
如图， 点坐标为 ，
所以所求面积 3. C 所以
．
【解析】由题意知 ，
4. B 【解析】
，显然 为奇数时， ； 为偶数时， ．而 、 、
、 显然是一个首项为 ，公比为 的等比数列， 5. A
【解析】对于A，
．
恒成立；
对于B， ，所以不成立；
对于C， ，所以不成立；
对于D， ，所以不成立．
第二部分 6. 7. 8. ，
【解析】 ； ． 9. ，
【解析】 ；
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．
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