1. 当取k(x,t)?JM(xt)时，其中JM(?)是M阶的第一类Bessel函数， 相
应的采样定理如何表述？ 解： 假设M?R且M??1,L?0，t1,t2,t3,t4?是方程JM?Lx??0的正根，则
JM?t1x?,JM?t2x??在区间?0,L?上构成一个完备正交系。
即当ti?tj 时，
?L0xJM?tix?JM?tjx?dx?0
设x?t?是?上的一个信号，且存在区间?0,L?的一个函数??x?，使得
x?t???L0xJM?tx???x?dx
则x?t?可以按如下方式重构:
? x?t???x?t?S?t?
nnn?1Sn?t???L0xJM?tx?JM?tnx?dx?L0xJ2M?tnx?dx
2. 当取k(x,t)?Pt(x)时，其中Pt(x)是Legendre函数，相应的采样定理又如何表述？ 解：
P0(x),P1(x),P2(x)?在区间[?1,1]上构成一个完备正交当t?0,1,2,3?时，
系。即当m?n时，
?1?1Pm?x?Pn?x?dx?0。
设x(t)是?上的一个信号，且存在区间[?1,1]上的一个函数?(x)，使得
x?t???1?1Pt?x???x?dx
则x(t)可以按如下方式重构：
?? x?t???x?n?S?t?nn?0Sn?t???1?1Pt?x?Pn?x?dx
?1?1Pn2?x?dx第四章
1. 用一条主线将本章介绍的所有变换的物理背景和数学生长点串在一起。
2. 利用复变函数的知识给出几种求反Z-变换的方法。
??解：设X(z)??n???x(n)z?n 收敛域为 r?z?R
(1)留数法
??把X(z)在r?其中cn?12?z?R内展为洛朗级数X(z)??n???cnzn
?jX(z)?zn?1dz n?0,?1...?:z??(r???R)
对照两式有x(n)?c?n?12??j?X(z)zn?1dz??Res(X(z)zkz?akn?1)
其中ak为X(z)zn?1在区域：z(2)长除法 设X(z)?P(z)Q(z)??(r???R)内的孤立奇点
为有理分式，收敛域为 r??N(z)?M(z)Q(z)z?R
a.将X(z)?P(z)Q(z) 化为带分式
b.将Q(z)化为
A(z)M(z)M(z)Q(z)?A(z)B(z)?C(z)D(z)，则X(z)?N(z)?的收敛域为zA(z)A(z)B(z)?C(z)D(z)
其中B(z)的收敛域为
z>r ，
C(z)D(z)?R
将A(z),B(z)降幂排列，用B(z)去除A(z)，将B(z)以z的降幂排列
A(z)B(z)???(n)z?xn?0?n?(0)z0?x?(1)z?1?x?(2)z?2???x
C(z)D(z)将C(z),D(z)升幂排列，用D(z)去除C(z)，将
C(z)D(z)?1以z的升幂排列
??n?? ??(n)z?n?x?(?1)z1?x?(?2)z2?x?(?3)z3??x
?(n) c.从而得x(n)?Z?1(N(z))?x(3)部分分式展开法 设X(z)?P(z)Q(z) 为有理分式
?N(z)?M(z)Q(z)a.将X(z)?P(z)Q(z)化为带分式
b.将Q(z)有理分解：
若Q(z)?(z?z1)(z?z2)?(z?zn)无重根，将
M(z)Q(z)?A1z?z1?A2z?z2???Anz?zn
中的系数A1,A2,?,An按如下公式求出
Ak?(M(z)Q(z)(z?zk))|z?zkn，
nk?1,2?,n ,nl若Q(z)?(z?z将
1)1(z?z2)2?(z?zl) n1?n2???nl?n
M(z)Q(z)?A11z?z1???A1n1(z?z1)n1???Al1z?zl???Alnl(z?zl)nl
中的系数按如下公式求出
Ajk?1d(nj?k)(nj?k)(nj?k)!dz(M(z)Q(z)Ajk(z?zj)j)|z?zkn，k1?1,2,?,nj,j?1,2,?,l.
c.求出所有的Z?1((z?zj)k)?AjkZnj?1((z?zj)?1k)，进而得出
lx(n)?Z?1(N(z))???j?1k?1AjkZ(1(z?zj)k)
3. 写出拉普拉斯变换的正反变换公式，并用Laplace变换替代Fourier变换，改写第二章中图解法求频谱的方法。
解：设x(t)为(??,??)上的有限分段函数，每一段上是一个多项式。 1）.找出x(t)的所有不连续的分段点tt1j(j?1,2,?,s1)11,t12,?,t1s1，在间断点
处，根据x(t1j?0)?x(t1j?0)的取值画箭头:
当 当
x(t1j?0)?x(t1j?0)?0 时，箭头冲上; 时，箭头冲下。
x(t1j?0)?x(t1j?0)?0
2）.对x(t)逐段求导(忽略分段点)得x'(t)，求出x'(t)的新的不连续的分段点t21,t22,?,t2s2，在间断点t2j(j?1,2,?,s2)处，根据x'(t2j?0)?x'(t2j?0)的取值画箭头:
当 当 ……
n）.如果首次在各个分支上出现x(n)(t)?0，停止求导，x(t)的n阶广义导数按照如下公式给出:
x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0 时，箭头冲上; 时，箭头冲下。
x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0
dx(t)dtnns1???j?1s2(n?1)(t?t1j)[x(t?t2j)[x(0)(t1j?0)?x(t2j?0)?x(0)(t1j?0)](t2j?0)]???j?1sn(n?2)(1)(1)
?????j?1(0)(t?tnj)[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)]仿照Fourier变换的证明，易证得
?dnx(t)?nnL???sL?x(t)??sX?s? n?dt?又
…… 此处隐藏0字 ……
L??(t?a)????????(t?a)e?stdt?e?sa
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(m)(t?a)??sL??(t?a)??sem
?dnx(t)?X?s??nL??nsdt??1s1??sj?1?1e?st1j[x(0)(t1j?0)?x(1)(0)(t1j?0)](1)s2??j?1snse?2?st2j[x(t2j?0)?x(t2j?0)]
????j?1se?n?stnj[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)])4. 从讲义中找出Hilbert变换的定义， 并对瞬时频率与频率进行区分。5. 给出含参变量积分?0Tsin(?(v?t))e2?j2?fvdv的数值解的程序。
6. 在窗口Fourier变换和小波变换中，对基底进行局部修正起到了关键作用，分别对两种变换中的修正方法进行描述。 7. 证明Walsh函数列{Wal(k,t),k证明：
?0,1,2,...}是L2([0,1])的完备正交基。