实验三 线性卷积与圆周卷积的计算
一、 实验目的
1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。
2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。 3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 二、实验原理
1、线性卷积：
线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，输出序列为y(n)，则系统输出为：
y(n)?m????x(m)h(n?m)?x(n)*h(n)???
y(n)?或
m????h(m)x(n?m)?h(n)*x(n)
上式称为离散卷积或线性卷积。
图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。
?(n)→ L. T. I —→h(n) —→ L. T. —→
I x(n)0 y(n)?m????x(m)h(n?m)??
图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系
2、圆周卷积
设两个有限长序列x1(n)和x2(n)，均为N点长
D F T x1(n) X1(k)
x2(n) D F T X2(k) 如果X3(k)?X1(k)?X2(k)
?N?1~?x3(n)???x1(m)~x2(n?m)?RN(n)?m?0?则
??x1(m)x2?(n?m)N?m?0N?1
?x1(n)Nx2(n)上式称为圆周卷积。
0?n?N?1
~~~x(n)R(n)x(n)x(n)1N11注：为序列的周期化序列；为x1(n)的主值序列。 上机编程计算时，x3(n)可表示如下：
x3(n)??x1(m)x2(n?m)?m?0nm?n?1?x(m)x1N?12(N?n?m)
3、两个有限长序列的线性卷积
序列x1(n)为L点长，序列x2(n)为P点长，x3(n)为这两个序列的线性卷积，则x3(n)为
x3(n)?m????x(m)x1??2(n?m)
且线性卷积x3(n)的最大长L?P?1，也就是说当n??1和n?L?P?1时
x3(n)?0。
4、圆周卷积与线性卷积的关系
序列x1(n)为L点长，序列x2(n)为P点长，若序列x1(n)和x2(n)进行N点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度：
当N?L?P?1时圆周卷积等于线性卷积，即
x1(n)Nx2(n)?x1(n)*x2(n)
当N?L?P?1时，圆周卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即
?????x3(n?rN)x3N(n)??r????0?三、实验步骤
已知两个有限长序列
0?n?N?1其它n
x(n)??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?4?(n?3)?5?(n?4) H(N)??(n)?2?(n?1)??(n?2)?2?(n?3)
1、实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积
(1)x(n)⑤h(n) (2)x(n)⑥h(n) (3)x(n)⑨h(n) (4)x(n)⑩h(n)
2、编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与
h(n)的圆周卷积。
function yc=circonv(x1,x2,N) if length(x1)>N error; end
if length(x2)>N error; end
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N
H(n,:)=cirshifted(x2,n-1,N); end
yc=x1*H';
function y=cirshiftd(x,m,N) if length(x)>N
error('x的长度必须小于N'); end
x=[x,zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1];
y=x(mod(n-m,N)+1);
? 函数（1）x(n)⑤y(n)
clear all;
N1=5; N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n) hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,5);%用函数circonv计算N1点圆周卷积 ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1]; subplot(2,1,1);%画图 stem(ny1,yln); ylabel('线性卷积'); subplot(2,1,2); stem(ny2,ycn); ylabel('圆周卷积');
? 函数（2）x(n)⑥y(n)
clear all; N1=5; N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n) hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,6);%用函数circonv计算N1点圆周卷积 ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1];
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subplot(2,1,1); stem(ny1,yln); ylabel('线性卷积'); subplot(2,1,2); stem(ny2,ycn); ylabel('圆周卷积');
? 函数（3）x(n)⑨y(n)
clear all; N1=5; N2=4;
xn=[1 2 3 4 5];%生成x(n) hn=[1 2 1 2];%生成h(n)
yln=conv(xn,hn);%直接用函数conv计算线性卷积
ycn=circonv(xn,hn,9);%用函数circonv计算N1点圆周卷积 ny1=[0:1:length(yln)-1]; ny2=[0:1:length(ycn)-1]; subplot(2,1,1); stem(ny1,yln); ylabel('线性卷积'); subplot(2,1,2); stem(ny2,ycn); ylabel('圆周卷积');