2013年中北大学大学生数学建模竞赛选拔赛题
B 研究生录取问题
摘要
本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1规划问题。首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，考虑所有可能的师生配对方案，根据总体满意度作为评价研究生复试招生合理性的指标，找到师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。
关键词：集对分析 层次分析法 0-1 规划 双向选择 一 问题重述
某校某学科方向招收研究生指标是20人，达到复试线的是31个人，有关学生初试复试成绩见后面表格。导师中有3位教授(T1,T2,T3)，7位副教授(T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10)，现需要解决以下问题：
1. 根据初试和复试成绩，选拔20位学生。
2. 根据学生意愿，对导师和学生进行分配。其中教授T3今年只招2人，其余每位教授可招收3-4人，每位副教授可招收1-2人。
3. 近几年采用的导师分配办法是：先由每位教授根据学生意愿选择3人，再由每位副教授根据学生意愿选择1人；接下来根据学生意愿教授可以再选择1人，副教授再选择2人。
试提出评价研究生复试招生合理性的指标，并对上述方法予以评价。
4. 学校规定：各学科严格按照下达指标招生，不得超过；如果某学科不能完成今年的招生计划，明年的指标按照今年实际招生数量确定。但在近几年的招生中发现有以下问题：一是因面试时间短，面试效果不理想，个别不是很优秀的学生被录取；二是确定并录取名单后，有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试；三是有的学生9月份报到的时候，因找到工作，或对导师安排有意见或其它个人原因放弃读研机会，导致指标浪费。
试提出招生录取的改进方案，该方案对上述问题有一定考虑，并对该方案的利弊进行评价。
二 模型的假设
1、在量化学生对导师的满意度时，学生把导师是否与自己的志愿一致看得最重要，在量化导师对学生的满意度时，导师把自己对学生的一轮选择看得最重要。
2、不考虑两个或多个导师带一个学生的情况。 三 符号说明
四 模型的分析与建立
研究生录取问题是通过双向选择更好地优化组织的人员结构，提高组织的整体效能。但由于在实际操作中尚缺乏科学，可行的方法，往往达不到理想的效果。我们知道，组织是一个多因素，多层次的人造系统，是由许多相互作用相互依存的要素组成的有机整体，要使它形成一个合理、有效的结构，必须将人员配置的方法建立在对构成组织的相关要素进行综 合、系统分析和客观评价的基础上。考虑到组织的人员结构是不同素质、不同能力的人在组织内各岗位上的分布状态。我们建模的思路是，以提高组织的整体效能（师生双方总的满意
度）为目标，通过对学生、导师进行定量测评和综合分析，建立一个系统优化模型，以此 寻求学生和导师之间的最佳对应，实现招生调剂的优化。
以下就方法和模型的建立分步阐述：
（一）用层次分析法对候选研究生进行测评排名。 （1）层次分析法介绍：
层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题。特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的。现在便用层次分析法模型来对31名学生的成绩做排序。设最上层为目标层，即最后的排名；中间层为准则层，有初试的外语、政治、基础课、专业课和复试成绩5个准则；最下层为方案层，有31名学生供选择。各层联系用相连的直线表示（如图1所示）。
图1 学生综合排名的层次结构
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。
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优点：对于题目中的 “体现双向选择”的要求，我们巧妙地借助层次分析法计算验证各类因素间的加权量值，得到老师学生之间双向选择的满意度Sij，进一步利用0-1 规划模型进行配对方案的求解，使得师生双方总满意度达到最大值，符合题目的要求。
缺点:在题目求解中我们多次采取了加权平均的方法，尽管加权的权重都是参照经典的模型方法计算得到的，而且符合精度要求,但仍然有一定的主观因素，因此可能有与实际有所出入的地方。 七 参考文献
[1] 徐玖平 胡知能，运筹学—数据模型决策，北京，科学出版社，2006年2月。 [2] 范金城 梅长林，数据分析，北京，科学出版社，2002年7月。
[3] Le Coidon Bleu，实用葡萄酒宝典，北京，中国轻工业出版社，2010年7月。 [4] 周惠彬 谢小燕，应用统计学，，西南财经大学出版社，2000年12月。 [5] 刘来福，数学模型与数学建模，北京，北京师范大学出版社，1997年。