数理方法资料

§3.3 球谐函数

一、球谐函数的推导

由球函数方程及其自然边界条件

1 1 2Y(θ, ) Y(θ, )

sinθ θ sinθ θ +sin2θ 2+l(l+1)Y(θ, )=0

（1） Y(θ, )单值（即Φ( )=Φ( +2π)）

Y(θ, )有限

1、实数形式的球谐函数：

Ylm(θ, )=Plm(cosθ)(Cmcosm +Dmsinm ),

2、复数形式的球谐函数：

(l=0,1,2,L;m=0,1,2,L,l) （2）

本征函数Φm( )=Amcosm +Bmsinm ，本征值m=0,1,2Ll 由欧拉公式

eim +e im cosm =

2eim e im

sinm =

2i

eim +e im eim e im

Φm( )=Am+Bm

22i

11

=(Am iBm)eim +(Am+iBm)e im 22=Cmeim m=0,±1,±2L

即

Φm( )=Cmeim

所以，复数形式的球谐函数可写为：

m=0,±1,±2L,±l （3）

Ylm(θ, )=Plm(cosθ)eim ,

另外，由于Pl

m

(l=0,1,2,L;m=0,±1,±2,L) （4）

2

…… 此处隐藏0字 ……

(cosθ)的模Nlm=l+m!2，eim 的模为

l m!2l+1

∴归一化的球函数写为：

m

（5）

其中，( 1)是归一化常数的相角，l称为球谐函数的阶。

l球谐函数Ylm(θ, ),(m=0,±1,±2,L,±l)共有2l+1个不同函数，相互独立，均满足球函数