北京市2016届高三数学理优题精练

导数及其应用

1、（2015年北京高考）已知函数f(x)?ln（Ⅰ）求曲线f(x)在点?0,f?0??处的切线方程；

1?x． 1?x?x3?（Ⅱ）求证：当x??0,1?时，f(x)?2??x?3??；

???x3?（Ⅲ）设实数k使得f(x)?k??x?3??对x??0,1?恒成立，求k的最大值．

??

2、（2014年北京高考）已知函数

f(x)?xcosx?sinx,x?[0,]，

2?（1）求证：

f(x)?0；

（2）若a?

?sinx?b在(0,)上恒成立，求a的最大值与b的最小值.

2xlnx在点(1,0)处的切线． x3、（2013年北京高考）设L为曲线C：y?(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．

4、（朝阳区2015届高三一模）已知函数（1）当a = ?1时，求函数 f (x)的最小值； （2）当a≤1时，讨论函数 f (x)的零点个数。

?x5、（东城区2015届高三二模）已知函数f(x)?x?a?e． （Ⅰ）当a?e时，求f(x)在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数x0?[?3,3]，有f(x0)?a.

6、（房山区2015届高三一模）已知f(x)??2

12ax?x?ln(1?x)，其中a?0． 21

(Ⅰ)若函数f(x)在点(3,f(3))处切线斜率为0，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若f(x)在?0,???上的最大值是0，求a的取值范围．

7、（丰台区2015届高三一模）设函数f(x)?ex?ax，x?R．

（Ⅰ）当a?2时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： f(x)?0； （Ⅲ）当a?1时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．

8、（海淀区2015届高三二模）已知函数f(x)?（Ⅰ）求函数f(x)的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线y?

9、（石景山区2015届高三一模）已知函数f(x)?x?alnx,g(x)??(Ⅰ)若a?1，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间； (Ⅲ)若存在x0?[1,e]，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围．

10、（西城区2015届高三一模）设n∈N*，函数

，函数

，x∈(0，+∞)，

1?lnx. x2lnx存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0??1. x1?a(a?0)． x（1）当n =1时，写出函数 y = f (x) ?1零点个数，并说明理由；

（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧，求n的所有可能取值。

x3?x2?2ax(a?0). 11、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数f(x)?ln(2ax?1)?3（Ⅰ）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围.

2

x2,a?R. 12、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知函数f(x)=x-a(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）已知定义在?1,???上的函数

f?x??x?lnx?2，g?x??xlnx?x。

14、（昌平区2015届高三上学期期末）已知函数f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈R)．

( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；

( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

（I）求证：f?x?存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若k?Z且g?x??k?x?1?对任意的x?1恒成立，求k的最大值。

eax,a?R． 15、（朝阳区2015届高三上学期期末）设函数f(x)?2x?13时,求函数f(x)的单调区间； 51（Ⅱ）设g(x)为f(x)的导函数，当x?[,2e]时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的上方，求ae（Ⅰ）当a?的取值范围．

16、（大兴区2015届高三上学期期末）已知f(x)?ax?2(a?0). 2(x?1)（Ⅰ）若a?1，求f(x)在x?1处的切线方程；

（Ⅱ）确定函数f(x)的单调区间，并指出函数f(x)是否存在最大值或最小值．

3

参考答案

1、详细分析:（Ⅰ） 因为

f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，所以

f'(x)?又因为

11'?， f(0)?2． 1?x1?xf(0)?0，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?2x．

x3)， （Ⅱ）令g(x)?f(x)?2(x?32x4则g(x)?f(x)?2(1?x)?．

1?x2''2因为g'(x)?0(0?x?1)，所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．所以g(x)?g(0)?0,x?(0,1),

x3)． 即当x?(0,1)时，f(x)?2(x?3x3)对x?(0,1)恒成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k?2时，f(x)?k(x?3x3)，则 当k?2时，令h(x)?f(x)?k(x?3kx4?(k?2)h(x)?f(x)?k(1?x)?． 21?x''2所以当0?x?4k?2k?2')上单调递减． 时，h(x)?0，因此h(x)在区间(0,4kk3k?2x)． 当0?x?4时，h(x)?h(0)?0，即f(x)?k(x?3kx3)并非对x?(0,1)恒成立． 所以当k?2时，令f(x)?k(x?3综上可知，k的最大值为2．

2、⑴证明：f??x??cosx?x??sinx??cosx??xsinx，

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ππb的最小值为1，下面进行证明：

?π?h?x??sinx?bx，x??0??，则h??x??cosx?b，

?2??π?当b?1时，h??x?≤0，h?x?在?0??上单调递减，从而h?x?max?h?0??0，

?2?令g?x??所以sinx?x≤0，当且仅当x?0时取等号.

sinx?π?从而当x??0??时，?1.故b的最小值小于等于1。

2x???π?若b?1，则h??x??cosx?b?0在?0??上有唯一解x0，且x??0?x0?时，h??x??0，

?2?故h?x?在?0?x0?上单调递增，此时h?x??h?0??0, sinx?b与恒成立矛盾，故b≥1， x综上知：b的最小值为1. sinx?bx?0? 5