信号与系统
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实验三 连续时间信号的频域分析
一、 实验目的
1．熟悉傅里叶变换的性质 2．熟悉常见信号的傅里叶变换
3．了解傅里叶变换的MATLAB实现方法
二、 实验原理
傅里叶变换是信号分析 的最重要的内容之一。从已知信号f(t)求出相应的频谱函数
F(j?)的数学表示为：
F(j?)?????f(t)e?j?tdt
f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是f(t)在无限区间内绝对可积，即f(t)满足下式：
????f(t)dt??
但上式并非傅里叶变换存在的必要条件。在引入广义函数概念之后，使一些不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。 傅里叶反变换的定义为：f(t)?12?????F(j?)ej?td?。
在这一部分的学习中，大家都体会到了这种数学运算的麻烦。在MATLAB语言中有专门对信号进行正反傅里叶变换的语句，使得傅里叶变换很容易在MATLAB中实现。在MATLAB中实现傅里叶变换的方法有两种，一种是利用MATLAB中的Symbolic Math Toolbox提供的专用函数直接求解函数的傅里叶变换和傅里叶反变换，另一种是傅里叶变换的数值计算实现法。下面分别介绍这两种实现方法的原理。 1.直接调用专用函数法
①在MATLAB中实现傅里叶变换的函数为：
F=fourier( f ) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(w) F=fourier(f,v) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(v) F=fourier( f,u,v ) 对f(u)进行傅里叶变换，其结果为F(v) ②傅里叶反变换
f=ifourier( F ) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(x) f=ifourier(F,U) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(u) f=ifourier( F,v,u ) 对F(v)进行傅里叶反变换，其结果为f(u) 由于MATLAB中函数类型非常丰富，要想了解函数的意义和用法，可以用mhelp命令。如在命令窗口键入：mhelp fourier回车，则会得到fourier的意义和用法。 注意： （1）在调用函数fourier( )及ifourier( )之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。对fourier( )中的f及ifourier( )中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。
（2）采用fourier( )及fourier( )得到的返回函数，仍然为符号表达式。在对其作图时要用ezplot( )函数，而不能用plot()函数。
（3）fourier( )及fourier( )函数的应用有很多局限性，如果在返回函数中含有δ(ω)等函数，则ezplot( )函数也无法作出图来。另外，在用fourier( )函数对某些信号进行变换时，其返回函数如果包含一些不能直接表达的式子，则此时当然也就无法作图了。这是fourier( )函数的一个局限。另一个局限是在很多场合，尽管原时间信号f(t)是连续的，但却不能表示成符号表达式，此时只能应用下面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了，当然，大多数情况下，用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。
例① 求门函数f(t)??(t?1)??(t?1)的傅里叶变换，并画出幅度频谱图
MATLAB程序如下：
syms t w %定义两个符号变量t,w Gt=sym('Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)'); %产生门宽为2的门函数
Fw=fourier(Gt,t,w); %对门函数作傅氏变换求F(jw)
FFw=maple('convert',Fw,'piecewise'); %数据类型转换，转为分段函数，此处可以去掉
FFP=abs(FFw); %求振幅频谱| F(jw)|
ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);grid; %绘制函数图形，并加网格 axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]) %限定坐标轴范围
运行结果：Fw= exp(i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-exp(-i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)
% Dirac(w)为δ(ω)，即傅立叶变换结果中含有奇异函数，故绘图前需作函数类型
转换
FFw= -i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w % FFw为复数
FFP= abs(-i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w) %求FFw的模值
例② 求函数F(j?)?1的傅里叶反变换f(t) 21?? MATLAB程序如下：
…… 此处隐藏1154字 ……
(1) 求出f1(t)??(2t?1)??(2t?1)的频谱函数F1(jω)，请将它与上面门宽为2的门函数
f(t)??(t?1)??(t?1)的频谱进行比较，观察两者的特点，说明两者的关系。
MATLAB程序如下：
syms t w %定义两个符号变量t,w Gt=sym('Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)'); %产生门宽为2的门函数
Fw=fourier(Gt,t,w); %对门函数作傅氏变换求F(jw) FFw=maple('convert',Fw,'piecewise'); %数据类型转换，转为分段函数，此处可以去掉
FFP=abs(FFw); %求振幅频谱| F(jw)| ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);grid; %绘制函数图形，并加网格 axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]); %限定坐标轴范围 Fw= exp(i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-exp(-i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w) ;
% Dirac(w)为δ(ω)，即傅立叶变换结果中含有奇异函数，故绘图前需作函数类型转换