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第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值
第八章
二、最值应用问题三、条件极值
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一、 多元函数的极值定义: 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. z 例如 : z z 在点 (0,0) 有极小值; O y x 在点 (0,0) 有极大值; O y y 在点 (0,0) 无极值. x O
x
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例1. 已知函数 则(
的某个邻域内连续, 且
A
)
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.(2003 考研)
提示: 由题设
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定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
( x0 , y0 ) 0 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y证: 取得极值 , 故 取得极值
取得极值 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点. 例如,
分别将y和 x看作常量
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.目录 上页 下页 返回 结束
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值2) 当 AC B 0 时, 没有极值.2
2
A<0 时取极大值;A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,2
为极小值;目录 上页 下页 返回 结束
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在点(1,2) 处
AC B 2 12 ( 6) 0 ,在点( 3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 12 6 0 ,在点( 3,2) 处
2
AC B 12 ( 6) 0 , A 0 ,为极大值.
2
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
B
C目录 上页 下页 返回 结束
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例3.讨论函数是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z在(0,0)点邻域内的取值
正可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.目录
O
x
y
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
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二、最值应用问题依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点，可能是极值点，也可能不是
类似于一元函
边界上的最值点，要与驻点上的极值 点比较，最后得到
最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f ( P) 为极小值(大 )
f ( P) 为最小值(大 )目录 上页 下页 返回 结束
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例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为2 m, xy
则水箱所用材料的面积为2 2 x y 2 x y
令
Ax 2( y Ay 2( x
2) 0 x2 2) 0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.目录 上页 下页 返回 结束
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例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 梯形面 2
24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2x
2
2
x24 2 x目录 上页 下页 返回 结束
24
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A 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 π ) 2令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos 2 sin 2 ) 0
解得:
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos 2 sin 2 ) 0 π 60 , x 8 (cm) 3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
…… 此处隐藏1080字 ……
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思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),x2 y2 1 ( x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 △ABC 面积 S△最大. A y解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y),DC
B
则
O E i j k 1 3 1 0 (0 , 0, x 3 y 10) 2 x 1 y 3 01 x 3 y 10 2目录 上页 下页 返回
x
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