福建广播电视大学学报
0 2 2 0年第
1
期
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用柯忠杰(福建广播电视大学计算机系,、
福建福州
5 3 0 00 ) 3.
:摘要利用凸函数定义证明凸函数连续性有界性存在左右导数等性质及其在证明不等式中的应用: n关键词凸函数;有界函数;连续函数;左右导数; Je s不等式 n e:::中图分类号 0 1 7 4 1 3文献标识码 A文章编号 10 0 8一 7 3 4 6 (2 0 0 2 )0 1一 0 0 4 1一0 2,.
凸函数的一般定义如下设 f x是定义在区间 I二 ( ) x x〔 b]上的实值函数如果 f (入+ (l久)y )蕊冠( )+ (1 x a x入)f(y ) ye 0任给[ b〕入e ( l )则称 f ( )为定义在 a上[ b〕的凸函数:
a
,
,
一
:证明因为
v=
竺J)+
、
十
汉二述 zZ一 X
,
因此
,
,
,
,
,
,
,
。
f(y )蕊
f犷召(乙
x
工二匹
一盖
f(z
)‘: (f(x
在凸函数的定义中我们没有假定 f )的连续性 ( a a下面我们将证明在区间【 b〕的凸函数必定在 ( b上 ),
x
.
由此可得‘ y )一‘‘)、 ( (x ( f y)一‘ )、 (
,
,
,
内连续且其左右导数都存在此外凸函数的一个初:等性质是它必是有界的即有 a题 1设 f (x在区间 I二【 b〕的凸函数则上命 ) x f( )在 I上有界: x a上显证明由定义 f )在「 b〕然有上界 ( a下面证明《x在「 b」有下界如果不然则存在 )上,
、
,
,
。
,
,
狱[[ ()狱‘x (
)
一
)〕)〕
4 ( ) 5 ( )
f
z
一
。
,
。
,
,
,
{
、f.
}〔(,
a
,
b)
,
x二使得 hm r( )。,
一,
0 a
,
由w:、
e e
i r s
tra s s
定理。
,
{
x
。
x}有收敛子列不失一般性可设{}本身是一收敛
序列设设o x,
n xo
~
x。
,
因为,
x。
笋
a
D与x=
异b
总有一式成立(1一
可
x。
并
a
取
0 y任( a,
,
0 X )并记n
0 y 0 y
0沁xx。,
+
与) a
,
n由于 x
~,
因此对充分大的
则显然有凡~与(
再由 f(为 )
=
时
二x
有 ),
<
设a
0 y
=
礼
x
。
+
a (l一凡 )
6由(4 ) ( ) ( )不难得出(l ) (2 ) (3 )由命题 2我们可证明如下 x a (上定理 1设 f )是区间 I二[ b〕的凸函数则 a (i f x在( b内左右导数存在 )( ) ) x x x a (五)f( )的右导数 r ( )与左导数 f ( )是 ( b )上的单调增加函数: a。::一 i 0证明 ( )设劫任 ( b ) V< h< h< b x根据 2中式 (有 ) 2命题、、
狱5
X、[ f y )一 f ( )〕 (
狱、
z ([‘ )一‘ y )] (、
6 ( )
。
,
,
,
,
,
.
+
_
,
。
,
,
,
( f一
x’
。一
+
‘
U
h )一步 hZ,‘
一
f(x一、’
n一
U
)’
f(二+- h‘) -一 f(二 )二<三二 2乙‘二卫 l二二二二卫二窄 h,.
(7 )
f (污
。
+
(1+x
一
凡) )一a凡 )f ( )
。0 O,
,
u,
蕊
x凡 f(
。
)
(ln
l刀L些
(o fx,
+
) hi fx,
一
(0 fx )曰o x,
‘、
:‘二
、
、
大 n已
汀U上卜妇 J左洛目目国文刊戈
*二.
。
注意到凡~而> 0及 f ( )~而对充分大的,
一
得 f (y。)蕊
一
O a
,
n
f( y。 )>礼 f(x
应当有 a )+ (l一礼)f( )n,
此外当 f ( x+ h) 0
x
<
()上故得矛盾这矛盾说明 f x在【 b〕有界二 a )上命题 2设 f(x是区间 I【 b〕的凸函数设 y< z蕊b则二工鱼卫吐 ) _些泣丝丝a,
。
)因此工兰上h二兰卫有下界 )h h2 (五一业a
,
,
蕊
,
b砚h一.、百 1产了,、、内 2少,了 j.、了 、、 1
f( x 0、
—a
<
<
一
h
( f
0 x
)
—一
)
f( x o
时再用命题 x . )一f ) (,
2O
中式( )有 3,
0 x
一 Xl
V
<
h
<
b
一
和
、 .一尹矛讨、、 X 、.,口护矛‘
户
这样,
+
f(和
)
一一——Z一
y
)
,‘
‘
y
一
x
即 f )在 (/,
田
h、。
存在有限。
处右导数存在。,,
类似地可证明一
,
五奋
f( z
)
一
f( xx
)
乙
一
分〕
f(,
x )一 f( )
o在 x处左导数存在八
y一
x
工 (宜
二兰理y
〔2
业脸皿且
(动由( 8 )可知
二
, _
、
一
、。
,
、
r
‘
(勒))
( f鞠)0 x
( f
x l
)
z一
再利用命题 2中式( 2 )
收稿日期
:
2 00 2
一0一 2 2 5,,
一一 Xl
:作者简介柯忠杰 ( 1 9料一 )男福建广播电视大学计算机系讲师
。
4l
福建广播电视大学学报
200 2
年第
l
期
f (鞠 )一 f (x
l
)多 )
f(y )一 f(xy一 x 1氏( )二十
一
)
,
’因此 f (甸 )〕 r ( l ) x x即 r ( )是单调递增函数类似地可证 f ( )是单调递增函数: a推论设 f(x是开区间 I二 ( b上的凸击数则 ) ) x a i ( )f )在 ( b )上连续 ( x a x a l (i )又若 f )在 ( b )上可微则厂 ( )是 ( b )上单 (调上升函数 x a (i )又若 f ( )在 ( b )上可微则 f (x )〕 f(劫 )+ r (x ) (x一 x ) 0 0 o x任 (a b ) V x iv )又若 f、 )在(a b )上二次可微则 ( (,
——,
0 x
一 x l
V
x一<
y< x 0
x
,
,
一
。
,
,
,
,
,
,
。
x l x一 x (0 f x )一 f )=厂(e ) (。 ( )所以汀 (x )+ (l一入 f (y)一 f向 )= (l一入 r (毛)(y一劫 ) ) ( )一 x二一 l一 0 )甘 (〔 )(甸 ) (l一入 (r (气) r (任) )(y一 x ) ) o: x一二 x一 (即得 f入+ (l入砂 f x )簇汀 ( )+ (1入)f y ) ) (0 ( x a (所以 f )是 (旧上的凸函数 a x 1 ( 1)设<< y< b则 f(y )〕 f(x )+ f (x ) (y一 x )’ x〕 f y)+尸(y )(
x一 y ) ( f ) (由上述两式得,
。
,
,
,
, r (y ) ) f (x
),,
,
,
a’ )故 f (x是 ( b上单调上升击数由 (知 f (x是凸 ) ) i )
,
,
函数
’ f (x
)妻 0
,
V
x
任 (a b ),、、
推论中的 (11) (i五) (i )的逆命题也是成立的即,
v
有
:
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.
.
不意味着知识层次达到了最高境界知识的陈旧老化会影响教学质量只有通过不断的学习提高并使知识转,
3赵〔〕嘉平中学教师继续教育的教学模式《小中学教师培训》 0 7 0 2 1 ..
,
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