第8章 正交试验设计的方差分析

前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著.

为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法.

8.1 正交试验方差分析的基本步骤

在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(ST)分解为因素的偏差平方和(SA、SB)和误差的偏差平方和(Se)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(VA、VB)，最后利用因素方差与误差方差之比(VA/Ve，VB/Ve)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算

1. 偏差平方和与自由度的计算

方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x1、x２、x3和x4. 总的偏差平方和:

T2ST??(xi?x)??x?ni?1i?1n_2n2in??xi2?i?14T42 T=?xi

i?12 221=(x12+x2+x+x)-(x) 整理后可得?x?x?x12342434?22223 (x1?x2?x3?x4) 41? (x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?x3x4) 2第1列各水平偏差平方和为

2S1=2(K11?x)?2(K21?x)

__2__=2[(K11T2KT?)?(21?)2] 242422K11T2K21T211????K11T?K21T] =2[41641644412122=(K11?K21)?T (T??xi?K11?K21) 24i?1112411222?x3?x4)?(x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?x1x2?x3x4) =(x12?x242=[(x1?x2)2?(x3?x4)2]?(x1?x2?x3?x4)2

表8-1 L4(23)正交表及计算表

列号 试验号 1 2 3 试验数据 1 2 3 4 K1j K2j 1 1 2 2 K11=x1+x2 K21=x3+x4 __ 1 2 1 2 K12=x1+x3 K22=x2+x4 1 2 2 1 K13=x1+x4 K23=x2+x3 x1 x2 x3 x4 T=x1+x2+x3+x4 K1jK2j____ ______x1?x3x1?x4(x1?x2?x3?x4)x1?x2KK13?12?x? K11?2242 ____x2?x3x2?x4__x3?x4KK22?23?K21?222__注: Kij表示第j列第i水平的指标值之和；Kij表示第j列第i水平

的平均指标值；T表示指标值总和；x表示平均指标值. 同理，第2、3列各水平的偏差平方和S2、S3为

S2?2(K12?x)?2(K22?x)21212(K12?K22)?T22411222?(x12?x2?x3?x4)?(x1x2?x1x4?x2x3?x3x4?x1x3?x2x4)42?S3?2(K13?x)?(K23?x)21212(K13?K23)?T2 241122?(x12?x2?x3?x2)?(x1x2?x1x3?x2x4?x3x4?x1x4?x2x3)442?____2__________2____

由此可得

ST=S1+S2+S3 (8-1)

式(8-1)是正交表L4(23)的总偏差平方和的分解公式，即L4(23)的总偏差平方和等于各列偏差平方和之和.

若在L4(23)正交表的第1列和第2列分别安排二水平因素A、B，在不考虑A、B因素间交互作用的情况下，则第3列(空列)是误差列.

同样也可以证明

ST=SA+SB+Se (8-2)

上式也是总偏差平方和的分解公式，即总偏差平方和等于各列因素的偏差平方和与误差的偏差平方和之和.

我们可以把上例推广到一般情况:

用饱和正交表Ln(mk)安排试验(见表8-2，p160)，总的试验次数为n，每个因素的水平数为m，则每个水平作r次试验，r=果为x1，x2，x3，?，xn.令

T??xi,i?1nn. 试验结mT2CT?,n__1nx??xi,ni?1QT??xi2

…… 此处隐藏42字 ……

1m2T2Sj?r?(Kij?x)??Kij?ri?1n (8-4) i?1?Qj?CT(i?1,2,?,k)m__21m2其中Qj??Kij

ri?1特别地， 当m=2(即二水平)时， 式(8-4)可表示成:

12T22Sj?(K1j?K2j)?rnm122?(K12j?K2)?(K?K)j1j2jnn (8-5) 2122?(K12j?K2)?(K?K)j1j2jnn1?(K1j?K2j)2n列偏差平方和Sj是第j列中各水平对应的试验数据平均值与总平均值的偏差平方和，它反映了该列水平变动所引起的试验数据的波动.若该列安排的是因素，就称Sj为该因素的偏差平方和；若该列安排的是交互作用，就称Sj为该交互作用的偏差平方和；若该列为空列，则Sj表示由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动.在正交试验设计中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和，虽然它属于模型误差，一般比试验误差大（当作安全系数考虑），但用它作为试验误差进行显著性检验，可使检验结果更可靠些。

总偏差平方和的自由度： fT=n-1 第j列偏差平方和的自由度： fj=mj-1 （mj：第j列水平数） 此外，可以证明：

ST=?Sj=?Sj+?Sj+?Sj （8-6）

j?1kkk因k交k空 fT=?fj=?fj+?fj+?fj （8-7）

j?1k因k交k空式中k因、k交和k空分别为试验因素、试验考察的交互作用和空列在正交表中所占的列数。并且 k=k因+k交+k空