几代
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第2 4卷V0. 4 12
第 7期
四川教育学院学报J URNAL OFS C O I HUAN C L GE OF E OL E DUC I AT ON
20 0 8年 7月J12。 8 u 00.
矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用倪臣敏，孙逊32 1) 60 4 (仰恩大学数学系概率统计教研室，福建泉州
摘
要：文章总结了初等变换在求矩阵的秩、向量组的秩、逆矩阵，求解线性方程组和多项式的最大公因式
等方面的应用，并通过实例加以说明，而介绍了广义初等变换的思想方法和应用。进 关键词：初等变换；阵的秩；矩逆矩阵；最大公因式；广义初等变换Ap l a o s o e e t y Tr n f r a i n o a rx i Li e r Al e r p i t n fElm n ar a s o m to fM t i n n a g b a c i
Absr c:T i a e t a t h sp p rs umma ie h p l a o so lme t r r n fr t no ma r n s l i gt e r n famarx o e f e— r st ea p i t n fee na yta so ma i f z ci o t xi ov n h a k o i ti ra s t v c o tt,c a a n n e s t x O y t m fl e re u to s nd s li g t es se o e re u t n d t e g e ts OT l n d v s ro o s￣c t g i v re m r Fs se o n a q a in,a o v n h y tm fUn a q a o sa h r a e tC l no i io f l i a i i i n l p ln mi l il e a ls u t e o e ti to u e h o g ta d a p i a in o e ea i e lme tr r n f r ai n o y o a s w t x mp e,f rh r r,i n r d c st e t u h n p l to g n r l d ee n a y t so 1 m h c f z a m to . Ke r s:e e n ay ta so ma o y wo d lme tr r n f r t n;r n ti;i v re marx;g e t s c mmo iio;g n r l e l me tr/ n f r i a k o a m rx n e s ti f a
r ae t o n d vs r e ea i d e e n ay ta so - z 'ma i t u o
中图分类号： 5 . 1 01 121引言 .
文献标志码： A
文章编号：0 05 5 (0 8 0 -140 10 -7 7 2 0 )70 0 -4
在线性代数中，阵的初等变换是指以下三种变换类型 J矩：( )交换矩阵的两行 ( ) 1列； ( )以一个非零数 k 2乘矩阵的某一行 ( )列；
( )把矩阵的某一行 ( ) z 3列的倍加于另一行 ( )。列上容易看出，这三种初等变换都不会改变一个方阵 A的行列式的非零性，以如果一个矩阵是方阵，所我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆，来判断原矩阵是否可逆。当然，这只是矩阵初等变换的一个小小的应用，它在线性代数中的更重要的应用主要体现在以下几点：求矩阵的秩，求向量组的极大无关组、,秩求解线性方程组，求多项式的最大公因式等。 2初等变换在《 . 线性代数》中的应用2 1用初等变换法求矩阵的秩 .将任意—个矩阵经过若干次的初等变换后，化为行(阶梯型矩阵，列)则阶梯型矩阵中，非零的行(数，列)就是原矩阵的秩。—
1
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1
收稿日期：0 80 -6 2 0 -30
作者简介：臣敏( 9 0 )女，东临沂人，士，倪 18一，山硕助教，研究方向：图像处理与分析，图论与组合学，线性代数，率统计的教学研概究等；
孙1 04
逊( 9 l )男， 17一，辽宁省夏县人，师，讲研究方向：线性代数，概率统计，密码学等。
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第2 4卷(总第 13期) 8‘ . .
倪臣敏，孙
逊：矩阵的初等变换在《性代数》线中的应用解
。=一7时，( )= 2 c≠一7时，(=3 rA; t rA) .
方对程组咖±
一 6 . u一 2.= —
2 2求向量组的极大无关组、 .秩
向量组的秩即该向量组极大无关组所含向
量的个数。通常有两种求法，一是添加法，此法主要针对含有参数的一维向5—量组；是初等变换法，而该法的依据是“一个矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩，而矩阵的初等行 ( )列 8— 11
一 4 —一一
—
3,●●●●●●●●●,(●●●●●●●●●、
变换不改变其列 ( )行向量间的线性关系”。
1
5 例 2求下列向量组的一个极大无关组 秩。 8、2— 1=
—9
( _ A 1 b一 _ 3 .施 1 1 1 7一4 3一 一—
(,,,) 2= (,,一13, 11 3 1,一1 1,) 3= (,一2 8 5,,一9, ) 4= (,,, )一13 17,.
、、●●●●
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解：
以初 .
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…… 此处隐藏1008字 ……
+r c≥ t a B A B+r B结论成立。 c即
例设，, n方，:, l II一 6 A,为阶阵A c证 B1 l D c C A明f/ A c、 D。 D l A _证明：分两种情况，i若 A可逆， ()则
l三l三一。l c AB; ( )l。A ) 一 B- C = B=c A -D ( c A = -I一。 (i若 A不可逆， i )则令 t=lt ) I+A l, 则 t )至多有 1个根，在无穷多个 t使得 t 1,存， )≠ 0,由 ( ),故 i得
I A )I A-I项性，。成即 )I 8 三I( )B,式质=仍。I三I DC t=+ C多的 t时立 (= -I I+一 D有 A 。本文受仰恩大学《线性代数》精品课程项目资助。 参考文献： []赵树螈 .线性代数( 1 3版) M][ .北京：中国人民大学出版社，0 50 . 20 .6[]王品超 .高等代数新方法[ .济南： 2 M]山东教育出版社，99 1. 18 .2
[]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 .高等代数 ( 3 2版) M][ .北京：高等教育出版社，9 80 . 19 .6 []林亨成， 4陈
群 .矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[】 J .成都教育学院学报，0 6 1:1 9 . 2 0,19 - 2(责任编辑：刘春林责任校对：林子)
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