篇一：高中数学必修四向量知识点
向量知识点总结
一、向量的概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；
（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；
（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b． ⑷运算性质：
①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c； ③a?0?0?a?a。
⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y三、向量减法运算
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； ⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y设?、?两点的坐标分别为
22
????
C a
?。
?
b
?
?，
a?b??C?????C
?x1,y1?
，
?x2,y2?
，则
????x1
x?,2y1
。y2 ??
四、向量数乘运算
⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a； ①
?a??a；
②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当
??0时，?a?0；
⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b； ⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?；
1
??
五、向量共线定理
向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a；
??
bb?0设a??x1,y1?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、b??x2,y2?，
共线；
六、平面向量基本定理
??
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 七、分点坐标公式
设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是?
?x1??x2y1??y2?
,?； 1????1??
八、平面向量的数量积
⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0；
??
a?b?ab；⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，
2
当a与b反向时，a?b?
?ab；a?a?a?a或a?
2
a?b?ab；
⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c； ⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2，
22
若
a??x,y?，则a?x?y，或a?
2
????
??
设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0；
设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b?
?x2,y2?，?是a与b的夹角，则
cos??
a?bab
?
2
篇二：高一数学必修4_向量复习讲义[整理]
数学必修4平面向量
一、基本概念：
1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．
?
????a
2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a共线的单位向量a0??
a
????
3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行 ????
4、向量相等：a?b? 模相等，方向相同；相反向量：a??b?模相等，方向相反 ?????
5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；?AOB叫做a与b的夹角。
6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若a?xi?yj，则?x,y?叫做
????
a的坐标。7.向量a在b方向上的投影：设?为a、b的夹角，则acos?为a在b方向上
??
?
的投影
二、基本运算：
三、基本定理、公式：
???
1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对
实数?1、?2；使得a??1e1??2e2。
?
2、向量的模：a＝co?s?
?
＝
x?y
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??
；非零向量a与b的夹角：
a?b?
x1x2?y1y2x1?y1
2
2
x2?y2
22
?
x1y2?x2y1；向量垂直：a⊥
??
3、向量平行：a∥b
?a??b?
?
b?a?b?0?x1x2?y1y2?0
四、基础训练
??
（1
）已知?2?3，且a?b?4，则向量b在向量a上的投影为
（2）已知A（3，y），B（?5，2），C（6，?9）三点共线，则y=_________.
?????????
（3）非零向量a和b满足：|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角等于. 五、典例讲解.
??????????????
例1. 已知AB?a?(1,2)，BC?b?(?3,2)，CD?(6,4)（1）证明：A,B,D三点共
????????
线.（2）k为何值时，① 向量ka?b与a?3b平行 ② 向量ka?b与a?3b垂直
????????????
（1，7），OB?（5，1），OP?（2，1）例2、平面内有向量OA?，点Q为直线OP上一
????????
…… 此处隐藏3775字 ……
|ka?b|2?(cos??kcos?)2?(sin??ksin?)2?k2??2kcos(???)
?2kcos(???)??2kcos(???)
又∵k≠0,∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π ∴0<β-α<π?????? 2
点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。
例6. (2002年全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0)，N(1，0)，且点P使??????????????????????????MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列。
(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线？ ????????(Ⅱ)若点P坐标为(x0，y0)，记θ为PM与PN的夹角，求tanθ
[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体，既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。