太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

第七章 课堂练习题返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

一. 单项选择题 1. 下列变换不是线性变换的是 ( D ). ) (A) T ( f ( x )) = ∫a f ( t )dt ,其中 f(x)是[a, b]上的连续 是 上的连续 函数; 函数; (B) T (a , b, c ) = (a + b c , a b + c , a + b + c ), (a , b, c ) ∈ R 3 ; (C) T ( X ) = An×n X XBn×n,X是Rn×n中的任意矩阵; 是 × 中的任意矩阵; (D) T (a , b) = (a + 1, b + 1), (a , b) ∈ R 2 . (因为 T[(a, b)+(c, d)]=(a+c+1,b+d+1) 因为 ≠(a+c+2,b+d+2) )返回 上页 下页x

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

2. 设A, B是线性空间 的线性变换，且 是线性空间V的线性变换 是线性空间 的线性变换， AB-BA=E, , ). 则 ( A) (A) A2B-BA2=2A ; (B) A3B-BA3=3A3 ; (C) A2B-BA2=0 ; (D) A4B-BA4=2AB . 返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

3. 设V是n维线性空间，则V上的线性变换全体 维线性空间， 上的线性变换全体 是 维线性空间 上的 组成的线性空间的维数为 ). 组成的线性空间的维数为( C ) 维数 (A) n ; (B) (½)n(n+1) ; ) (C) n2 ; 无穷大. (D) 无穷大 线性变换与一个 级矩阵1 1对应.) (因为一个线性变换与一个 级矩阵1—1对应 因为一个线性变换与一个n级矩阵

返回

上页

下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

4. 设A, B是n维线性空间 的线性变换，它们适合条 维线性空间V的线性变换 是 维线性空间 的线性变换， )时 必有A=B. 件( B )时，必有 ( 它们的值域 值域与 分别相等； (A) 它们的值域与核分别相等； 如k1≠k2≠0 . ) 个线性无关的向量a (B) V 中有 n 个线性无关的向量 1,a2,L,an ,使 L A(ai)=B(ai),i=1,2,L,n ; ), L 的秩相等； (C) A, B的秩相等；同(A) ,秩r(k1)=r(k2)=n . ) 的秩相等 ( 有相同的特征值. (D) A, B有相同的特征值 有相同的特征值 1 0 1 1 在基ε (如A, B在基 1,ε2下矩阵为 在基 0 1 , 0 1 . ) 返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

5. 设A为n维线性空间 的线性变换，A在给定一组 维线性空间V的线性变换 为 维线性空间 的线性变换， 在给定一组 基下的矩阵为A, 的矩阵可以在某组基下为对 基下的矩阵为 ，则A的矩阵可以在某组基下为对 的矩阵可以在某组基下为 ). 角矩阵的充分必要条件为 角矩阵的充分必要条件为( B ) 个不全相同的特征值； (A) A有n个不全相同的特征值； 有 个不全相同的特征值 (B) 存在有 级可逆矩阵 ，使为 -1AP对角矩阵； 存在有n级可逆矩阵 级可逆矩阵P,使为P 对角矩阵； 对角矩阵 个特征向量； (C) A有n个特征向量； 有 个特征向量 的特征多项式有n个不全相同的根 (D) A的特征多项式有 个不全相同的根 的特征多项式有 个不全相同的根.

返回

上页

下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

6. 设V是二维实列向量空间，定义V中的线性变换 是二维实列向量空间，定义 中的线性变换 是二维实列向量空间 级实矩阵， 为A(X)=AX, X∈V,其中 为2级实矩阵，当A为

矩 ∈ ,其中A为 级实矩阵 为矩 没有非平凡不变子空间. )时 线性变换A没有非平凡不变子空间 阵( C )时，线性变换 没有非平凡不变子空间 (A) 1 1 0 2 ;

(B)

2 2 1 1 ; 2 0 0 3 .

(C)

0 1 1 0 ;

(D)

线性变换没有实特征值 (这个线性变换没有实特征值，事实上，这是 这个线性变换没有实特征值，事实上， 平面上的一个旋转变换 没有一维不变子空间.) 旋转变换， 平面上的一个旋转变换，没有一维不变子空间返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

二. 填空题 中线性变换T把基 把基A:(1,0,1)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T 1. R3中线性变换 把基 变为基B: 在基A 变为基 (1,0,2)T, (-1,2, -1)T, (1,0,0)T,则T在基 在基 1 1 1 0 2 0 1 0 1

下的矩阵为

.

因为 T (α 1 , α 2 , α 3 ) = ( β1 , β 2 , β 3 ) = (α 1 , α 2 , α 3 ) A 所以 1 0 0 1 1 1 1

A = (α 1 , α 2 , α 3 ) ( β1 , β 2 , β 3 ) = 0 1 0 0 2 0 . 1 0 1 2 1 0 返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

…… 此处隐藏2424字 ……

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

设 则

k1Aβ1+k2Aβ2+L+ksAβ=0. L A(k1β1+k2β2+L+ksβs)=0. L

于是k 于是 1β1+k2β2+L+ksβs∈A-1(0). 又因为 L k1β1+k2β2+L+ksβs∈W,于是 L , k1β1+k2β2+L+ksβs∈W0 . 这样我们有 L k1β1+k2β2++ksβs=l1α1+l2α2+L+lrαr . L 因为 α1,α2,L,αr, β1,β2,L,βs 线性无关， L L 线性无关， 的维数等于s , 的维数等于 有ki=0, 1≤i≤s. 即AW的维数等于 ，即得 dimW=dimAW+dimW0. 证毕. 证毕 此题取W=V,即为 ，即为dimV=dimAW+dimA-1(0). 此题取返回 上页 下页

太原理工大学数学系一线教师呕血编写,值得下载参考!

九. 设A是n维线性空间 的线性变换，证明 是 维线性空间V的线性变换， 维线性空间 dimA3V+dimAV≥2dimA2V. 八题知 证 由八题知 dimAV=dimA2V+dim(A-1(0)∩AV). dimA2V=dimA3V+dim(A-1(0)∩A2V). 又A2Vp AV,令dim(A-1(0)∩A2V)=r, p , , dim(A-1(0)∩AV)=s,s≥r≥0. 于是 ， dimA2V+s=dimAV,dimA2V=dimA3V+r. , 2dimA2V+s=dimA3V+dimAV+r. 相加得 证毕. 即得 dimA3V+dimAV≥2dimA2

V. 证毕 此题对n级方阵 即为 此题对 级方阵A即为 R(A3)+R(A)≥2R(A2). 级方阵返回 上页 下页