2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)?102x?x2dx=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.
(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.
(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为
19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设
f(x)、
g(x)是恒大于零的可导函数,且
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有
(A)??xdS?4S??xdS
S1 (B)??ydS?4??xdS
SS1(C)??zdS?4??xdS
SS1 (D)??xyzdS?4??xyzdS
SS1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为
n?1(A)??(?1)nun (B)??u2nn?1n
n?1(C)??(u2n?1?u2n)
n?1 (D)??(un?un?1)
n?1(4)设n维列向量组α1,,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,,βm线性无关的充分必要条件为
(A)向量组α1,,αm可由向量组β1,,βm线性表示 (B)向量组β1,,βm可由向量组α1,,αm线性表示 (C)向量组α1,,αm与向量组β1,,βm等价 (D)矩阵A?(α1,,αm)与矩阵B?(β1,,βm)等价 (5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为
(A)E(X)?E(Y)
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2)?E(Y2) (D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx). 1?exx
四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具
有二阶连续导数,求?2z?x?y.
五、(本题满分6分) 计算曲线积分I??xdy?ydxL4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中
心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都
有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数
f(x)在
S(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).
七、(本题满分6分)
求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分) 设
函
数
f(x)在
[0,?]上连续,且
???0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两
个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)
??1000?000? 设矩阵
A
的伴随矩阵A*??1??1010??,且
?0?308??ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额
由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的
熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量
??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与
??xn?的关系式并写成矩阵形
?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??A???. n?1??yn?(2)验证η?4???1?1???1??,η2???1??是A的两个线性无关的特征
向量,并求出相应的特征值.
?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为
X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).
十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命
X的概率密度为
?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中
??0为未知参数.又设
,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估
计值.
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.
把答案填在题中横线上)
…… 此处隐藏202字 ……
图所示,则y?f?(x)的图形为
(A)
(B)
(C)