奇数和偶数

将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数. 因此，任一偶数可表为2m（m∈Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式. 奇、偶数具有如下性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数.

（2）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数.

（3）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数. （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性. （5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2的倍数；

若n个整数的乘积式中有一个是偶数，则乘积是偶数.

（6）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）. （7）任何一个正整数n，都可以写成n 2l的形式，其中m为非负整数，l为奇数.

这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.

m

n

例题讲解

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1．（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么 这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.

x 1988y n 11x 27y m

x p y q

2．（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么( )

（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数. （C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数

的解