2009年高考数学试题分类详解——圆锥曲线
一、选择题
x2y22
1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，
ab则该双曲线的离心率等于( C )
（A）3 （B）2 （C）5 （D）6
解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'|x?x0?2x0.由题意有
y0?2x0又y0?x02?1 x0解得: x0?1,?2bb?2,e?1?()2?5. aax2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:点A?l，线段AF2?????????????交C于点B，若FA?3FB,则|AF|=
(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3
????????解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,故
|BM|?2222??.又由椭圆的第二定义,得|BF|??|AF|?2.故选A
3233x2y23.（2009浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直
ab????1????线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是 ( )
2A．2 B．3 C．5 D．10 答案：C
【解析】对于A?a,0?，则直线方程为x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，
?a2ab?a2abB?,,C(,?)?a?ba?ba?ba?b??，则有
??????ab????????2a2b2a2b???ab?22BC?(22,?22),AB???,?，因2AB?BC,?4a?b,?e?5．
a?ba?b?a?ba?b?
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x2y24.（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭
ab????????圆上，且BF?x轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）
A．
1132 B． C． D．
32225．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
????????1【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e?
26.（2009北京理）点P在直线l:y?x?1上，若存在过P的直线交抛物线y?x2于A,B两点，且
|PA?|AB|，则称点P为“
点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
点” 点” 点”
点”
A．直线l上的所有点都是“ B．直线l上仅有有限个点是“ C．直线l上的所有点都不是“
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
【答案】A
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设A?m,n?,P?x,x?1?， 则B?2m?x,2n?x?2?， ∵A,B在y?x2上，
?n?m2∴? 2?2n?x?1?(2m?x)
（第8题解答图）
消去n,整理得关于x的方程x?(4m?1)x?2m?1?0 （1） ∵??(4m?1)?4(2m?1)?8m?8m?5?0恒成立，
22222
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∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
x2y227.(2009山东卷理)设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则
ab双曲线的离心率为( ).
A.
55 B. 5 C. D.5 42b?bx2y2?y?x【解析】:双曲线2?2?1的一条渐近线为y?x,由方程组?a,消去y,得
aab2??y?x?1x2?bbx?1?0有唯一解,所以△=()2?4?0, aabca2?b2b所以?2,e???1?()2?5,故选D.
aaaa答案:D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.y??4x B.y??8x C. y?4x D. y?8x
2222aa44a1aa与y轴的交点为A(0,?),所以△OAF的面积为||?||?4,解得a??8.所以抛物线方程
22422【解析】: 抛物线y?ax(a?0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y?2(x?),它
为y??8x,故选B.
2答案:B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.
x2y2??1的渐近线与圆(x?3)2?y2?r2(r?0)相切，则9.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线63r=
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（A）3 （B）2 （C）3 （D）6 答案：A
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22c2?b2?2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐
b2x??x a2【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理
能力。
x2y2x2y2??1的准线过椭圆?2?1的焦点，则直线17.(2009湖北卷理)已知双曲线
224by?kx?2与椭圆至多有一个交点的充要条件是
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