启东中学2018届高三上学期第一次月考
数学（理）试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．
1．已知集合A??x?1?x?3?，B??xx?2?，则 ▲ ． 2．命题“?x?1，x2≥3”的否定是 ▲ ．
3．设幂函数f?x??kx?的图象经过点?4,2?，则k??? ▲ ．
1??1?4．计算?lg?lg25??1002? ▲ ．
?4?5．已知F为双曲线C：2x2?my2?4m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 ▲ . ?x?y?0,?6.已知x,y满足约束条件?x?y?2,若z?ax?y的最大值为4，则a的值为 ▲ .
?y?0,?27．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2,a5,a14成等比数列，S5?a3，则
a10? ▲ ．
8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ． 9．若正实数x,y满足x2?2xy?1?0，则2x?y的最小值为 ▲ ． π3??10. 设?为锐角，若cos(??)?，则sin??2???的值为 ▲ . 6512??11. 如图所示的梯形ABCD中，AB//CD,AB?4，AD?3，CD?2,AM?2MD,
如果 AC?BM??3,则AB?AD= ▲ .
π
12. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间
6
ππ
[－，]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ . 44
?1－x2，－1＜x≤1，
13. 已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时，f(x)＝?若函数y＝f(x)
?1－|x－2|，1＜x≤3．
－m|x|恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为 ▲ .
a2
14.已知函数f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|e－a|＋，当x∈[0，ln3]时，函数
2
x
3
g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为 ▲ .
2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA?cos(（1）求AB?AC的值；（2）求tan(
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中， 已知平面AA1C1C?平面ABCD, 且AB?BC?CA?3,AD?CD?1.
A ?2?B),a?3,c?2
3??C?B)的值为. 2D1
A1B1 C1
DC
（1）求证：BD?AA1;
第16题
E
B（2）若E为棱BC的中点，求证：AE//平面DCC1D1.
17.（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重ab合的直线l交椭圆于A,B两点
（1）若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的离心率满足0?e?5?1,O为坐标原点，求证：?AOB为钝角. 2
18.（本小题满分16分）
如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝33 km，∠AOB＝90°．当 地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．
（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
19.（本小题满分16分）
设a?1,函数fx???(1?x2)ex?a.
（1）证明f?x?在0,a?1上仅有一个零点；
（2）若曲线y?f?x?在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是
??坐标原点),证明:m?
20.（本小题满分16分）
3a?2e?1
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足
11???(n?N?)，?为常数． Snan?1（1）是否存在数列{an}，使得??0？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当??1时，求证：
11??1． anan?1（3）当??
81
时，求证：当n?3时，0?an?．
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江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期第一次月考
高三数学试题（附加题）
21.（本小题满分10分，矩阵与变换） 设矩阵M??
22.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）
O
4??12??2?02??1A MM N M，，若，求矩阵的逆矩阵． N?MN???????xy???1?1??513?B ?在极坐标系中，直线l的极坐标方程为?cos(??)?1. 以极点O为原点，极轴为x轴
3?x?rcos?的正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程为?（?为参数）. 若直线l与
?y?rsin?圆C相切，求r的值.
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平面ABCD?AC，
又因为AA1?平面AA1C1C，所以BD?AA1．
⑵在三角形ABC中，因为AB?AC，且E为BC中点，所以AE?BC， 又因为在四边形ABCD中，AB?BC?CA?3，DA?DC?1， 所以?ACB?60?，?ACD?30?，所以DC?BC，所以AE因为DC?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AEDC，
平面
DCC1D1．
17.解：（Ⅰ）因为?ABF2为正三角形，所以AF2?BF2