例2-1、已知某一时期内商品的需求函数为Qd?100?P,供给函数为Q时的价格和数量。
解：均衡即需求等于供给，有Qd?Qs， 100?P??20?5P
P?20Q?100?20?80s??20?5P，求该商品达到均衡
例2-2、 已知需求函数和需求曲线，如下图所示，计算A、B两点之间的弹性以及在B点的点弹性。 需求的价格弹性的计算： P
5 A Qd?16?2P
3 B
6 10 由A点到B点（降价）：
?QeQd?-?P?-?Q?P?PQ?10-655
5-3?6?3，P经济含义：价格下降1%，需求量约上升1.67%由B点到A点（涨价）：
?QeQd?-?P?-?QP10-633
?P?Q?5-3?10?5，P经济含义：价格下降1%，需求量约上升0.6%A点与B点之间（中点弹性）：
P1?P2e-?Q10?65?33 ?PQ???1?(，5d?2,3)，1?Q25?36?1052经济含义：价格下降1%，需求量约上升1%当P=3时的点弹性：
edQP d??dP?Q?2?310?0.6Q
0.5例3?1：假设某消费者的效用函数为U?X10.5X2,两商品的价格分别为P1和P2,消费者的收入为M，分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。答案：（只要求掌握方法二均衡条件法）解法一（拉格朗日方法）Max XXx1x2,10.50.52s.t. pL?1X1?0.52pX22?M建立拉格朗日函数：XX10.5??(M?pX11?pX22)根据一阶条件（也就是L对三个变量求导为0）0.5?dL?X2????0.5???P1?0???dX1?X1??0.5?X1??dL??0.5???X???P2?0?2??dX2?dL?M?P1X1?P2X2?0??d??由第一个和第二个方程可得：X2P?1即P1X1?P2X2X1P2将上式代入第三个方程，可得：P1X1?P2X2?2P1X1?M因此X1?MM，同理，X2?2P12P2解法二（均衡条件解法）均衡条件:MU1P?1MU2P2P1X1?P2X2?M0.50.5由U?X1X2，可得MU1??X2dU?0.5??XdX1?1??X1dU??MU2?dX?0.5??X2??20.5????0.5
MUXP因此，1?2?1,得到P1X1?P2X2MU2X1P2代入约束条件P1X1?P2X2?M，可得X1?MM，X2?2P12P2均衡条件的推导：
需求曲线的推导：
价格消费曲线：在消费者的偏好、收入及其它商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。
（1） 需求曲线的理论基础：由消费者的价格消费曲线（PCC）可以推导出消费者的需求曲线。 （2） 序数效用论所推导的需求曲线一般是向右下方倾斜的，它表示商品的价格和需求量成反方
向变化。
（3） 需求曲线上与每一价格水平相对应的商品需求量都是可以给消费者带来最大效用的均衡数
量。
例4-1、已知某企业 的生产函数为Q?LK ，劳动的价格w?3 ，3414资本的价格r＝1。求：1)2)当成本C＝1000时，企业实现最大产量时的L，K，Q值。当产量Q＝500时，企业实现最小成本时的L，K，C值。（只要求掌握均衡条件法求解）
解：（1）解法一：用拉格朗日方法求解： 即是在成本一定条件下求产量的最大化：31
MAX Q?L4K4 s.t. ?L?rK?C 建立拉格朗日函数31 N?L4K4??(1000?3L?K) 其一阶条件（即N对所有变量的一阶导等于0）??N3K1?()4?3??0??L4L???N1L3? ??()4???0??K4K??N????1000?3L?K?0?? 将方程1比方程2得：3K ?3 ?K?LL 将K?L代入第三个方程，得到 K?L?25031 Q?L4K4?K?L?250 解法二：用均衡条件求解 两个均衡条件MPLdQ/dL? ??MPKdQ/dKr wL?rK?C3K4()MPLdQ/dL4L3K 由第一个均衡条件得： ????3MPKdQ/dK1L3L()44K 得到：K?L 将其代入第二个均衡条件，即3L?K?1000，L?K?250.311 则 Q?L4K4?K?L?250 （2）解法一：用拉格朗日方程解 即求在一定产量约束下成本的最小化问题 构建拉格朗日方程为；31 N?3L?K??( 500?L4K4) 解一阶条件得：（即N对所有变量的一阶导为0）1??N3K?3??()4?0?4L??L3?1L??N ??1??()4?0?K4K?31??N?500?L4K4?0?????
将方程1比方程2得：3K 3? ?K?LL 将K?L代入第三个方程，得到 K?L?500 C?3L?K?2000 解法二：用均衡条件求解 两个均衡条件MPdQ/dL? L??MPKdQ/dKr31
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dQ时价格为4。
（3）成本不变的完全竞争行业的总供给曲线为水平线，由（2）的结论知道其供给曲线为P=4.此时市场需求为Q＝660－15×4＝600，单个企业的产量为6，则可知共有100个厂商。 例7-1、已知某垄断厂商的成本函数为TC=0.6Q2+3Q+2，反需求函数为P=8-0.4Q。 求：该厂商实现利润最大化时的产量、价格、收益和利润。 解：由题设得到MC=dTC/dQ=1.2Q+3
MR=dTR/dQ=d(PQ)/dQ=d(8Q-0.4Q2)/dQ=8-0.8Q
利润最大化均衡条件为MR=MC,即1.2Q+3=8-0.8Q，解得Q＝2.5,P=7,TR=PQ=17.5,利润＝TR-TC=4.25 例7-2、假设市场上只有两家厂商生产和销售相同的产品，生产成本为0，市场需求曲线为P=1500-Q，两家厂商按照古诺模型进行决策。
求：当市场都达到古诺均衡时，两家厂商的产量及市场价格。
解：由于两家厂商成本均为0，因此MC1?MC2?0根据市场需求曲线P?1500?Q?1500?(Q1?Q2)因此厂商1的总收益TR?PQ1?(1500?Q1?Q2)Q1?1500Q1?Q12?Q1Q22厂商2的总收益TR?PQ2?(1500?Q1?Q2)Q2?1500Q2?Q2?Q1Q2MR1?MR2?dTR1?1500?2Q1?Q2dQ1dTR2?1500?2Q2?Q1dQ2当达到古诺均衡时，MR1?MC1?0,MR2?MC2?0?1500?2Q1?Q2?0??1500?2Q2?Q1?0解方程得：Q1?Q2?500,P?1500?500?500?500（第10章）求解下述博弈的占优策略均衡与纳什均衡解。