复习课
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一、空间解析几何内容小结1. 空间直线与平面的方程
空间平面一般式
点法式截距式
x y z 1 a b cx x1 x2 x1 x3 x1 y y1 y2 y1 y3 y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n ( A , B , C )z z1 z 2 z1 0 z3 z1机动 目录 上页 下页 返回 结束
三点式
空间直线
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0对称式
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.线面之间的相互关系面与面的关系 平面
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )垂直: 平行: n1 n2 0
n1 n2 夹角公式: cosθ n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2
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线与线的关系
直线 L1:x x1 y y1 z z1 , s (m , n , p ) 1 1 1 1 m1 n1 p1 x x2 y y 2 z z 2 , s2 (m2 , n2 , p2 ) 直线 L2: m2 n2 p2垂直: 平行: s1 s2 0
s1 s2 夹角公式: cos s1 s2
m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
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面与线间的关系 平面: Ax By Cz D 0, n ( A , B , C )
x x y y z z 直线: , s (m , n , p) m n p m n p 垂直：s n 0 A B C 平行： s n 0s n 夹角公式： sin s n机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求直线
与平面
的交点 .提示: 化直线方程为参数方程
t
代入平面方程得 t 1从而确定交点为(1,2,2).机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 多元函数微分学1. 多元函数的定义、极限 、连续、偏导数、全微分 2. 几个基本概念的关系 连续性 偏导数存在 可微性
方向导数存在
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2、多元函数微分法(1) 分析复合结构 显示结构 隐式结构(画变量关系图)
(2)正确使用求导法则，如
z z v z v z y v y v x x ―分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号(3)一阶微分形式不变性 (4) 隐函数求导法(一个方程情形；两个方程情形)机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x 2 xex2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y2
2z e2
x2 y2 z 2
2 x sin y
ux y z
2 x (1 2 x sin y ) e2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
u f f z y y z y
xyx 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z 2
2ze
x 2
y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e4
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程解 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 Fx z y x F1 y F2 F1 ( x2 ) F2 ( 2 ) x Fzzz
F1 1 z
Fy z F2 1 z y Fz F ( x ) F ( y ) 1 2 2 2z z
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1 d x F2 d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用 求函数的方向导数和梯度 f f f f cos cos cos l x y z 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4 求 grad解
x y 2x f 2 y 因为 f , , 2 2 2 2 2 2 (x y ) x (x y ) y 2x 1 2y 2 所以 grad 2 . 2 2 i 2 2 2 2 j (x y ) x y (x y ) 例5 设 f (x,y,z) x3-xy2-z , 求grad f (1,1,0). 解 grad f (fx,fy,fz ) ( 3x2-y2, -2xy, -1 ),2
1 . x2 y2 1 这里 f (x,y) 2
.
于是 grad f (1,1,0) (2, 2,-1).函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.
函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求椭球面 x 2 2 y 2 3z 2 36在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令法向量
n (2 x, 4 y, 6 z )n(1, 2, 3 )
(2 , 8 , 18)
所以椭球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
2( x 1) 8( y 2) 18( z 3) 0x 1 y 2 z 3 4 1 9机动 目录 上页 下页 返回 结束
三. 二重积分1. 二重积分化为累次积分的方法
y
y y2 ( x)
Dy y1 ( x) a bx
直角坐标系情形 : 若积分区域为
则
…… 此处隐藏800字 ……
8 3 d a 9
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