综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y x2 x） ．．．

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

1

4

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

推导边的大小。

相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

PE0 0)． 练习1、已知抛物线y ax bx

c经过 及原点O(0，

2

（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y ．．．

22x x） 33

（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形

△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D

处。已知折叠CE ，且tan EDA （1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y ax bx c(a 0)的图象与x轴交于A，B两点（点

2

3

。 4

3)和( 3， 12)． ，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，A在点B的左边）

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为y x 2x 3） ．．．

（2）若直线l:y kx(k 0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存

2

，，0)B(3，0),C(0，3) 在，请说明理由；A( 1

（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与 ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．

O

练习4图

练习3图

练习4 、如图所示，已知抛物线y x2 1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形， ACB 90，点A，C的坐标分别

0)，tan BAC 0)，C(1，为A( 3，

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3

． 4

39x 44

0)，B(1，3)，y 0)，C(1，（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A( 3，

（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP DQ m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

x