01 质数那些事
阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
?单位1?正整数?质数
?合数?关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数． 3．若质数p|ab，则必有p|a或p|b．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
12N= P1P2aaakP1?P2?k，其中P?Pk，Pi为质数，ai为非负数(i=1，2，3，…，k)．
正整数N的正约数的个数为(1＋a1)(1＋a1)…(1＋a1)，所有正约数的和为(1＋P1＋…＋
aka1a2)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋PPPPP2k12k)．
例题与求解
【例1】已知三个质数a，b，c满足a＋b＋c＋abc=99，那么a?b?b?c?c?a的值等于_________________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值．
35【例2】若p为质数，p＋5仍为质数，则p＋7为( )
A．质数 B．可为质数，也可为合数
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C．合数 D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．
⑵ 若n是大于2的正整数，求证：2－1与2＋1中至多有一个质数． ⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2－1与2＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
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nnnn
【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且
112??，求x＋y的值． xyp解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x?tp．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
221．若a，b，c，d为整数，a?b???c2?d2?=1997，则a2?b2?c2?d2=________．
2．在1，2，3，…，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)=__________．
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3．设a，b为自然数，满足1176a=b，则a的最小值为__________．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知p是质数，并且p6＋3也是质数，则p11－48的值为____________．
(北京市竞赛试题)
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A．4
B．8
C．12
D．0 ) D．3个
36．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( A．0个
B．1个
C．2个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有(
)
B．3 个
C．5个
D．6 个
A．1个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p 9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数． (上海市竞赛试题) 10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个 第 4 页 共 199 页 数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由． (五城市联赛试题) …… 此处隐藏103字 …… 1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________． pp?qq2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则nm?nm的值为__________． 3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2 000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为__________，最小值为____________． (“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个 第 5 页 共 199 页