关于形如N+1的素数问题
摘要：本文建立了一种筛法,用这种筛法证明了形如N?1的素数是无穷多的. 关键词：素数 剩余类 筛法
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予备知识
要讨论形如N?1的素数问题,除1以外,只须对N是偶数的情况加以研究. 引理一:形如4k?1的素数可以表为一偶一奇两数的平方和, 并且表法是唯一的.
2p?4k?1?s2?t2 <1>
其中s表示偶数,t表示奇数,[1]
引理二:若N?1为合数,则它能表为一偶一奇两数的平方和.
2N2?1?u2?v2 <2>
其中u表示偶数,v表示奇数,并且v>1.
因为这里只讨论N是偶数的情况,由引理一极易推得.
引理三:若<2>成立,则N?1(没有3(mod4)的素因子)由纯1(mod4)的素因子组成.[2] 引理四:若<2>成立,则v?8h?1,即N?1?u?(8h?1) <3> 证明:见[3].
引理五:若N?1含有素因子p?4k?1?s?t,则N?1除以P所得的商也能表为一偶一奇两数的平方和.即
22222222N2?1?u2?(8h?1)2?(s2?t2)(x2?y2) <4>
其中x表示偶数,y表示奇数. 证明:见[1],[4].
一个基本定理
由 N?1?u?(8h?1)?(s?t)(x?y) <4> 将上面等式的第三部分展开得:
2222222(s2?t2)(x2?y2)?(sy?tx)2?(sx?ty)2 <5>
比较<4>,<5>得:
N?sy?tx <6>
即满足<6>的N的N?1的数必含素因子P.为了确定N,我们将<6>化简, 继续比较<4>,<5>得到以下四个一次方程组,并加以讨论.
2?sx?ty?8h?1 ??sx?ty?1从这个方程组解得: sx?4h?1, 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况是不存在的.
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?sx?ty?8h?1 ?sx?ty??1?从这个方程组解得: sx?4h,ty?4h?1.
?sx?ty?8h?1 ? ?sx?ty?1
从这个方程组解得: sx?4h,ty?4h?1,.
?sx?ty?8h?1 ??sx?ty??1从这个方程组解得: sx?4h?1, 此与s,x为偶数相矛盾, 即这种情况也是不存在的.所以得到:
sx?4hty?4h?14h即 x?
s4h?1 <7> y?t将<7>代入<6>得:
4h?14h4h(s2?t2)?s24hp?s2 <8> N?sy?tx?s.?t.??tsstst <8>式说明:对于任意给定的形如4k?1的素数,总有满足<8> 的两类N,这样的N使N?1为含有素因子p?4k?1的合数. 于是我们得到基本定理.
定理一:对于任意给定的形如4k?1的素数P,总存在这样的N,即以P为模的两个剩余类的N,对于如此的N,它的平方加1为含有素因子p?4k?1的合数. 即N?Pm?R,1?R?P?1 . 有下式成立 N?1?PQ. <9>
22计算方法
以下我们给出满足<9>的两类N的计算方法.
4hp?s2N? <8>
st取以P为模, 由于h的任意性, 不妨设4h含有因子s, 则<8>变为:
N??p?st <10>
由于λ的任意性, t可以整除λp,但是(s,t)?1 ,除t=1以外, t不能整除s.所以,除t=1以外,不能用<10>求出满足<9>的两类N. 为此需要加以变换.
由于λ的任意性,不妨设???0t??,并且设
P??t?r,0?r?t一并代入<10>得
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N??0p?????r?st <11>
由μ任意性,取适当的μ使
?r?s?0(modt).
则N??0p?(????r?st) <11>.
这样以来.公式<11>就给出了求满足<9>的两类N的具体计算方法. 我们还可以给出求满足<9>的另外一种具体计算方法. 将<8>加以变形
4hp?s24hp?s2?t2?t2N??stst <12>
224hp?p?t(4h?1)p?t??stst取以p为模,由于h任意性,不妨设4h?1含有因子t,则<12>变为
N?由λ
??p?ts <13>
,＇
＇
的任意性,不妨设????0s??设P???s?r?,0?r??s ,将这两个式子同时代入<13>得:
?p??????N??0??r??ts <14>
由于μ＇的任意性,取适当的μ＇使??r??t?0(mods) 得
??r??t?N??0p?(?????) <14>
s公式<14>就又给出了满足<9>的两类N的又一种方法.
例1:对P=5.求出两类N,使N?1含有因子5.
解: ∵p?5?2?1,s?2,t?1.可以用公式<10>直接计算. N?5??2.
2因为N0?1为素数, 它也是4k?1的素数,所以对于形如N0?1的素数.求出两类N, 使N?1含有
22222素因子N0?1,可利用公式<10> 直接计算.
例2:对P =193.求出两类N,使N?1含有因子193. 解:
22p?193?122?72,s?12,t?7 193?27?7?4,??27,r?4
193?16?12?1,???16,r??1方法一:利用公式<11>将s?12,t?7,??27,r?4代入<11>得:
4??12) t7?193?0?(108?4)?193?0?112...........??4N??0p?(???)?193?0?(27??方法二:利用公式<14>,将s?12,t?7,???16,r??1 代入<14>得
?r?s
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Ma Guo-xiang (Luoyang fourth Railway school,471002)
2
Abstract:By using the primary way in this thesis,we have found a sifting methed which can be used
2to prove the fact N?1 has infinite prime numbers. Key wards: prime number lifted sifting methed
洛阳师范学院学报(自然科学版) 2001年第二期
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