数学专项练习之归纳法题的应用与练习

题目

类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等

典型题例示范讲解

例1试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn

命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式

知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况

技巧与方法本题中使用到结论(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a

b证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn qqnn

(2)设a、b、c为等差数列，

an cna cn则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*) 22

下面用数学归纳法证明

a2 c2a c2 () ①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴22

ak cka ck (), ②设n=k时成立，即22

ak 1 ck 11 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当n=k+1时，24

11＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44

…… 此处隐藏0字 ……

a cka ca ck+1 ＞()·()=()222

也就是说，等式对n=k+1

由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立 222例2在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－1成等比数列 2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{an}所有项的和

命题意图

知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤

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