第六讲 空间距（上、下）
一、考情分析
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离．在空间的距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点．本讲主要是培养考生的观察思考能力、空间想象能力、分析能力，培养考生的严谨的逻辑推理能力以及转化与化归的数学思想的应用．
二、二、知识归纳及例析
（一）空间距的求解思路：作――证――求． （二）两点之间的距离
（1）异面直线上两点之间的距离 解决思路：①化归法；
②向量法：在a上取一点A, 在b上取一点B, 设a、 b分别为异面直线a、b的方向向量，设异面直线a、b的公共的垂?直向量为
B a n A b nn?b??n?a， ，则异面直线a、b的距离为：
d?ABcos??AB?nn（此方法移植于点面距离的求法）．
A m d H B n F E a ③公式法：EF?m?n?d?2mncos?AE， BF?；
222例1：如图，E、F分别是异面直线a、b上的两点，AB是异面直线a、b的公垂线，AB?d，AE?m，BF?n，证明：EF?m?n?d?2mncos?AE， BF?．
解析：法1：化归法；法2：向量法；
例2：四边形ABCD中，AC?6，BD?8，对棱AC、BD所成? 的角为，E、F分别是AB、CD的中点，求EF．
222b A 3解析：如图，?EGF??3或?EGF?3?，则： 3G E EF?13或EF?37．
（2）几何体表面上两点之间的距离
解决思路：借助于几何体的平面展开图解决问题． 例3：长方体AC1的长、宽、高分别为4、3、5，一只蚂蚁从点A在表面上爬到C1处，求蚂蚁爬行的最短路程．
解析：蚂蚁从点A在表面上爬到C1处，有如下三种情形：
A A1 B D1 D F C C1 B1 D C B
1
D1 B1 A1 D D1 C1 A1 C1 P B1 D C B C A D N C B N B C1 C B1 D1 C1 C1 A1 D1 P B1 C1 A A
以上三种情形的最短路程分别是74、45、 310， 故蚂蚁爬行的最短路程是310．
例4：（05年江西卷）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
A1 E B1 F C1 AB?BC?2，B1B?2，?ABC??2，E、F分别为AA1、B1C1的
A B C 中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ． 解析：沿棱柱的表面从E到F两点的途径有四种情形：
A1 E B1 F C1 C B C C1 C1 A1 F A1 B1 F A1 E B1 F C1 F B1 C1 E B1 C1 A E A B B1 C A B C A B C B 以上四种情形的最短路程分别是
227311、?2、 2、?2， 222232． 2故沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为
例5：正四面体的棱长为a，从AB的中点E经过每个表面绕一周回到E处，求绕行的最短途径． 解析：如下图展开（途径的棱不能被剪开），显然，绕行的最短途径为E?E?2a，此时，四边形
EFGH是正方形． A A F F E G D H E/ A/ G E D H B G C B C B/
2
（3）球面距 解决思路：d球面距??球心角?R．
O/ B A O H 例6：地球上纬度为?的两点A、B间的经度差为?，求A、B间的距离．
解析：O1B?Rcos?，AB?2?O1Asin故A、B间的距离为AB?2?2?Rcos?sin?2，
min????2Rarcsin?cos?sin?．
2??（三）点到直线的距离
例7：边长为a的正六边形所在平面为?，PA??，PA?b，求： （1）点P到直线AC的距离；
（2）点P到直线DE的距离． 解析：如图，（1）dP?AC?PH?b?（2）dP?DE?PE?3a?b． （四）点到平面的距离
解决思路：（1）化归法：dP?????????dP?l； （2）等积法；
（3）向量法：dP??????A??22P 2321a?4b2?3a2； 42H B A F E ?P????? ???lC D AP?nn?APcos?AP， n?．
例8：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC?2，求点B到平面EFG的距离．
解析：法1：直接作出所求之距离，求其长．
如图，延长FE交CB的延长线于M， 连 结GM，作
D G P?EMBN?BC，交GM于N，则BN?平面ABCD．作BP，Q?PN易证平面BPN⊥平面FEG．作B是点B到平面EFG的距离．亦即：
于
C E A F B ，垂足为Q，则BQ??dB?平面EFG???????????????dB?PN；
P?平面BPN?平面EFG 平面EFG平面BPN?PN易知：BN?222211． ，BP?2，PN?，BQ?3311211． 113
故点B到平面EFG的距离
法2：利用直线到平面的距离确定．
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故AE与平面PFD的距离是AH?（七）两个平行平面之间的距离
23． 3????解决思路：①d?????；②??dd????dl??； A?????A?? l?? ????③d?????????????da?b；④d?????????????dA?B． ??? ???a ??? ???b l?? l??A l?? l ??B 例12：棱长为1的正方体中，（1）证明：平面A1BD（2）求平面A1BD平面B1D1C的距离． 解析：（1）（略）；
1C：平面B1D A1 D1 M O1 B1 C1 D 平面A1BD平面B1D1CAC1?平面A1BD于H AC1?平面B1D1C于G C O B ?dH?G； （2）d平面A1BD?平面B1D1C????????????A 运用等积法可求A到平面A1BD的距离、C1到平面B1D1C的距离均为3； 3故平面A1BD平面B1D1C的距离是HG?3． 3四、课后反思
．
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