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第十四章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程§1 动力学普遍方程 §2 拉格朗日方程
§3 拉格朗日方程的首次积分
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§14-1 动力学普遍方程
由达朗伯原理: Fi Ni FIi 0 理想约束： N i ri 0 Fi FIi ri 0
由虚位移原理有： 动力学普遍方程
FIi mi ai
Fi mi ai ri 0
达朗伯---拉格朗日方程
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将 Fi mi ai ri 0写成解析式i 1
x y z Fxi mi i xi Fyi mi i yi Fzi mi i zi 0n
应用特点： 1,是求解质点系动力学问题最普遍的方法。 2,对非自由质点系不必考虑理想约束的约 束反力，
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14-3 已知：m , r , R ,只滚不滑， 求：圆体柱在平衡位置运动微分方程 解：圆体柱受理想约束
oR
s r RI r mgrsin M I 0 ao1 R r r 2g 1 r mgrsin m R 0 r 0 sin m R r r 3 R 2 r
MI r s o1 R n RI mg I 2 RI mgsin s M I 0
RI mao1 m R r n n 2 RI mao1 m R r 1 2 M I J o1 mr
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14-3 已知：m , r , R ,只滚不滑， 求：圆体柱在平衡位置运动微分方程 解：圆体柱受理想约束
oR
r o1
mg
1 T J p 2 2 3 T mR 2 2 4
2g 1 r mgrsin m R 0 r 0 sin m R r r 3 R 2 r
s r ao1 R r r
RI mgsin RI r mgrsin
s M I 0 MI 0
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例 已知：离心调速器，P, Q,l, =常数，不计杆重 o 求： 与 关系 l
xl
B A y 解：对离心调速器 FIB FIA n n 2 P P a A aB l sin l l P c FIA FIB l sin Q g
由动力学普遍方程
FIA x A FIB xB P y A P yB Q yC 0
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x y A yB lcos o x A lsin l l xB lsin yC 2lcos B A y x A lcos FgB FgA xB lcos P P l l yC 2lsin c Q y A yB lsin 2 P l cos g 2 2
各点坐标及虚位移
P Q g 2 PlPl 2Ql sin cos
0
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§14-2 拉格朗日方程动力学普遍方程 拉格朗日方程以广义坐标表示
一、拉格朗日关系式
i r i q j q j
ri ri q1 ,q2 ,....,qk ,t k r dr i q ri i j dt j
1 q j t
q1 , q2 ,......,qk
第一个拉格朗日关系式
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将上式对广义坐标 qs 取偏导数，有 2 2 k i ri ri qj qs t qs j 1 q j qs d ri dt qs 2 k r r q t q q q j j 1 s s j 2
经比较 S换j
d r i i ( ) dt qs qs ri i d ( ) dt q j q j
第二个拉格朗日关系式
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二、拉格朗日方程 k r n i q Fi Fgi ri 0 , ri j j 1 q j i 1 n n ri ri Fgi Fi i 1 q j q j j 1 i 1k
q j 0
广义主动力
ri 广义惯性力 n ri Q j Fi Qgj Fgi q j q j i 1 i 1n
Q j Qgj q j 0k j 1
广义虚位移 q j 是彼此独立变化的,因此
Q j Qgj 0
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Q gj
1 1 22 m i i n r n d 2 m i i 1 d r 2 i r 1m 2 d mi ai i ) mii ii i i i q j i dt dt q j ( q jj 2 q j dt q q 2 q i 1 1
ri d i d ri i ri mi ai mi i mii ii m q j dt q jj dtq q j j q j q j
n ri ri Fgi mi ai q j q j i 1 i 1n
j
j
Q j Qgj 0 拉格朗日方程
d T T Qj dt q j q j
是一组用广义坐标表示的二阶常微分方程.
j 1,2 ,..., k
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拉格朗日方程d T T Qj dt q j q j
j 1,2 ,..., k
是一组用广义坐标表示的二阶常微分方程.
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若主动力为有势力, 则广义主动力
d T T U dt q j q j q j U 0 q j
U Qj q j
d T U T U 0 dt q j q j
令 L T U —拉格朗日函数(动势)d L L 0 dt q j q j
j 1,2,..., k
这就是保守系统的拉 格朗日方程!
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拉格朗日方程1.保守系统
d T T Qj dt q j q j j 1,2 ,..., k
2.非保守系统
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d T 5 3m 3m 2 m x l cos l sin dt x 2 2 2 d T 3m 3m 2 3mr l cos lx sin x dt 2 2
T 5 3m mx l cos x 2 2 T 3m 2 3mr lx cos 2
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拉格朗日方程 :
d T T Qx dt x x d T T Q dt
5 3m 3m 2 m x l cos l sin 0 2 2 2 3m 3m 2 3mr l cos lx sin x 2 2
l 2m l x sin P cos 3 2