高等量子力学 第一章 希尔伯特空间
高等量子力学主讲人：顾运厅参考教材：《高等量子力学》(第二版),喀兴林，高等教育出版社
高等量子力学 第一章 希尔伯特空间
第一章 希尔伯特空间本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积
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§1 矢量空间主要内容：§1-1 定义 §1-2 正交性和模 §1-3 基矢 §1-4 子空间 §1-5 右矢和左矢
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§1-1 矢量空间的定义我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。
我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 , , ,... ,在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢 量 和 ,总有一个确定的矢量 与之对应，记成
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加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：条件(1) (交换律)
条件(2) ( ) ( )
(结合律)
条件(3)集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满足
(加法单位元存在)
条件(4)对集合中任意矢量 ,都有矢量 存在，满足 (加法逆元存在)
我们把满足条件(4)的 记为同时把 ( ) 记为
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数乘
集合内任意一矢量可以与数(实数或复数)相乘，
得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规则， 使任意矢量 和一个数 a,在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。 数乘要满足下列四个条件：条件(5) 1 :
条件(6) ( a)b (ab) :
(结合律)
条件(7) (a b) a b :
(第一分配律)
条件(8) ( )a a a :
(第二分配律)
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
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内积
两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，
按一定次序任取两个矢量 与 ,总有一个数 c 与之相对应，记作
( , ) c在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数(复数)。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：条件(9) ( , ) (
, )* : ( c * 表示 c 的复共轭)(分配律)
条件(10)( , )=( , )+ ( , ) :条件(11) , , :
( , ) * ( , )
条件(12) ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0 ,则必有 ：
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具有加法与数乘两种运算并满足条件(1)~(8)的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间， 而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。 在本章中， 矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。
空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序列 { 1 , 2 , 3 ,...} 的极限也必须在本空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：对给定任意小的实数 0 ,有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 ( m n , m n) 在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。
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下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 (1)在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明：
设在空间中有 1 和 2 ,对所有矢量 都满足
1 , 2 取第一式的 为 2 ,第二式中的 为 1 ,分别得
2 1 2 , 1 2 1于是，根据条件(1) ,
2 2 1 1 2 1即 1 2 ,只有唯一的零矢量。
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(2)每个矢量的逆元是唯一的。
证明：
若 1 , 2 都是 的逆元，即
1 , 2 于是
1 1 1 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2证明了 1 2 ,即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据 条件(3) ,第三步根据条件(1) 。
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(3) 0 (4) ( 1) (5) (6)如果 ,那么 0 或者
证明： 0 时上式显然成立；当 0 时，必有 1 1 / 存 在。我们计算 ( ) 1 ,一方面根据(5) ,( ) 1 1
另一方面根据条件(6)和(5) ,有( ) 1 ( 1 ) 1
二式结合，证明了当 0 时，
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(7) ( , ) * ( , ) (8) ( , ) ( , ) ( , ) (9) ( , ) 0
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下面，讨论几个矢量空间的例子。
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完全集
一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ,这个空间中的每个矢量都能表为完 全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
ai i
i
的形式，其中 ai 是一组复数。如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1 , 2 ,... n , 但还不是完全集， 这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量 命名为 n 1 ,加入这个矢量集。这时 1 , 2 ,... n , n 1 ,肯定是 线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩 大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间 称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。