第四章 向量空间4.1 向量及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 矩阵的秩
4.5 向量空间4.6 线性方程组解的结构
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§4.1 向量及其线性组合三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，P ( x, y, z )O
它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。 我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数 乘两种运算。
k 目录
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建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )k ( kx1 , ky1 , kz1 )
由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中
的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向 量坐标的运算。
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定义
n 个数组成的有序数组(a1 , a2 , , an )
或
a1 a 2 a n
称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 a i 称为该行(列)向 量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向 量的全体记为 R n (Cn ) . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量 用列向量的转置表示.
向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.目录 上页 下页 返回 结束
定义
由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.
如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.例如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向 量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称
A 的行组.
a11 a 21 a m1再如:
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
Am n x 0( r ( A) n) 解的全体是一个含无穷多个 n
维列向量的向量组.目录 上页 下页 返回 结束
向量的线性运算 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘
运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 在Rn中的向量满足以下8条规律：
(1) ( 3) 0 (4) ( ) 0
(5)( k l ) k l (7)k ( l ) ( kl ) (8)1
( 2) ( g ) ( ) g (6)k ( ) k k
其中 、 、g 都是n维向量，k、l为实数。目录 上页 下页 返回
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例1解
,求 使
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向量的线性表示对于向量组 A : 1 , 2 , , n , 表达式
k1 1 k2 2 kn n ( ki R)称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 性组合, 即存在数 1 , 2 , , n 使
是向量组 A 的一个线
1 1 2 2 n n则称向量 可由向量组 A 线性表示.
通常写成
1 [ 1 , 2 , , n ] 2 n
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注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组 线性表示， 中每个向量都可由向量组本身
i 0 1 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m3°任一n元向量都可由n元单位向量组 线性表示，即
a1e1 a2e2 anen目录 上页 下页 返回 结束
线性方程组的向量表示 n元线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
(1)
可以用向量形式表示为 x1 1 x2 2 xn n B a1n b1 a11 a12 a2 n b2 a21 a22 n B 其中 1 , , … , , 2 a a a b m m2 mn m1
对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为
x1 1 x2 2 xn n 0目录 上页 下页 返回 结束
定理3.1.1 向量 可由向量组 A : 1 , 2 , , n 线性表示
(按定义) 存在数 1 , 2 , , n 使
注意:符号混用
1 1 2 2 n n (转换为方程组) 方程组 x1 1 x2 2 xn n 即 Ax A [ 1 , 2 , , n ] 有解
(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……学会这种转换就可以了!目录 上页 下页 返回 结束
练习
2 1 5 1 1 2 5 3 3 , 1 3 , 2 12 , 3 6 4 1 11 3 1 2 5 3
问 是否可以由 1, 2, 3线性表示T 解 设 A ( 1 , 2 , 3 ), AX , X ( x1 , x2 , x3 )
A ( 1 , 2 , 3 ,| ) 1 2 3 1 2 5 5 12 11 5 1 0 2 / 3 1/ 3 2 0 1 1/ 3 1/ 3 3 1 0 B 6 3 初等行
变换 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 3 1 1目录 上页 下页 返回 结束
故r ( A) r ( A) 2
可以由 1, 2, 3线性表示 ，且表示方法有无穷多种。方程组 AX 与矩阵B相对应的同解方程组为
…… 此处隐藏785字 ……
向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组线性相关; 否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示, 则称该 向量组线性无关(或独立).
如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?
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