假设检验与模型选择

1. 基本概念 假设检验：验证数据和假设(观点、理论)的一致性 假设(hypothesis):对模型施加的约束条件 原假设：Null hypothesis,受限模型 备择假设：Alternative hypothesis,一般模型

嵌套模型(nested models) 原假设所对应的模型是备择假设所对应模型的特殊情形，我们说一个模 型嵌套在另一个模型中

嵌套模型检验 传统检验方法：接受域/拒绝域

1. 基本概念 检验水平(size of a test):犯第一类错误的概率 检验功效(power of a test):1 – 犯第二类错误的概率 一致性检验(consistent test):样本容量趋于无穷时检验功效趋于1 传统检验方法的问题 检验结果位于拒绝域或接受域的边界 无法考虑其他检验结果

贝叶斯检验：从先验概率到后验概率

2. 两种检验方法 线性回归模型的一般约束： Rβ q 约束举例： R=[0,…,1,…0],q=0,βj=0 R=[0,…,1,…,-1,…,0],q=0,βj=βk R=[0,1,1,1,…,0],q=1, β2+β3+β4=1 β2+β3+β4=1,β4+β6=0,β5+β6=0 0 1 1 0 0 0 , R 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 q 0 0

2. 两种检验方法 原假设：Rβ q 0

备择假设： Rβ q 0 沃尔德检验(Wald Test) 检验 Rβ q 和 0有多远

拟合优度检验 检验施加约束后拟合优度下降的幅度

3. 沃尔德检验 单个系数检验统计量Wk bk k0 tk bk k0 s 2 S kk ~ t (n K )

2 S kk

~ N (0,1)

多个约束的联合检验，定义 m Rb q 因为 E (m | X) RE (b | X) q) Rβ q 0Var (m | X) Var (Rb q | X) 2R(X X) 1 R

3. 沃尔德检验 所以W m Var[m | X] m 1

(Rb q) [ 2 R (X X) 1 R ] 1 (Rb q) ~ 2[ J ]W 2 (Rb q) [R ( X X) 1 R ] 1 (Rb q) 1 2 ( n K ) F 2 2 2 J s J s (n K ) (Rb q) [ 2 R ( X X) 1 R ] 1 (Rb q) / J [(n K ) s 2 / 2 ] / (n K )

4. 拟合优度检验 令 e* y Xb* 表示有约束模型的残差 则 e* y Xb X(b* b) e X(b* b)

e *e* e e (b* b) X X(b* b) 1 1 e e e e ( Rb q ) [ R ( X X ) R ] (Rb q) 拟合优度的损失为 * *2 2 (e e e e ) / J ( R R * * * )/ J F[ J , n K ] e e / (n K ) (1 R 2 ) / (n K )

5. 检验非线性约束c( ) q 原假设H0: 检验统计量： ) q c( z )) Var (c( 其中

c( ) c ( ) Var[c( )] Var[ ]

6. 非嵌套模型选择 非嵌套模型

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H 0 : y Xβ 0 H1 : y Zγ 1 建立综合模型： y λ的识别：

(1 )Xβ (Zγ)

用y对Z回归得到y的拟合值 用y对X以及y的拟合值进行回归

检验：对第二步回归中y的拟合值进行显著性检验

7. 模型设定检验(Specification Test) 模型设定检验：检验模型设定是否存在问题 原假设H0:模型设定正确；备择假设H1:模型设定有误 注意，这种设定没有明确的备择假设形式，因此既不属于嵌套模型检验 ，也不属于非嵌套模型检验

例：Ramsay’s RESET test 检验模型：2 3 y Xβ 1y 2y

对此回归模型中的系数λ进行联合检验