高中数学选修2-2教学案及同步训练：第6课 函数的单调性与导数(教师版)

第1页 第6课 函数的单调性与导数

一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.函数单调性的定义

二、复习引入:

1.单调函数的图象特征

2. 函数单调性与导数的关系

三、函数单调性与导数：一般地,设函数()y f x =在某个区间(,)a b 内有导数

如果在 这个区间内()0f x '> ，那么函数()y f x = 在为这个区间内的 函数; 如果在这个区间内()0f x '<，那么函数()y f x =在为这个区间内的 函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '= , 则()y f x =为 函数.

四、应用讲练

1.判断函数的单调性

【例1】判断下列函数的单调性

（1）3()3f x x x (2)()sin ,(0,)f x x x x

【解析】（1）由已知，得()f x 的定义域为R ，

3()3f x x x ，32()()(3)330f x x x x

因此，3()

3f x x x 在(,)上单调递增 （2）

()sin f x x x ，()(sin )cos 1f x x x x 当(0,)x 时，1cos 1x ，cos 10x ，即()0f

x

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第2页 因此，函数()sin f x x x 在(0,)内单调递减

2.求函数的单调区间

【例2】求函数3223241y x x x 的单调区间

【解析】由已知，得

()f x 的定义域为R ，3222()3()(24)1666(1)y

x x x x x x x 由0y ，得6(1)0x x ，即0x 或1x ；由0y ，得6(1)0x x ，即10x .

因此，函数3223241y

x x x 的单调递增区间为(

,1)和(0,)；单调递减区间为(1,0). 【练习1】判断函数223y x x 的单调性，并求出单调区间

【解析】由已知，得()f x 的定义域为R ，

2()(4)3222(1)y

x x x x 当0y

，即1x 时，函数223y x x 的单调递增； 当0y ，即1x 时，函数223y

x x 的单调递减； 因此，函数223y x x 的单调递增区间为(1,)；单调递减区间为(,1).

【练习2】求函数21()ln 2

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f x x x =-的单调区间 【解析】由已知，得()f x 的定义域为(0,

) 211(1)(1)()(ln )()2x x f x x x x x x

+-'''=-=-=- 由0,0y x ，得1x ；由0,0y x ，得01x .

因此，函数()f x 的单调递增区间为(1,

)；单调递减区间为(0,1). 3.由导数信息确定函数大致图象

【例3】已知导函数的下列信息当2

3x 时，()0f x 当3x 或2x 时，()0f x ；当2x 或3x 时，()0f x 试画出函数()f x 图象的大致形状

【变式1】设()f x 是函数()f x 的导函数，()f x 的图象