第1-3章：消费者理论
一、形式化表述分析消费者偏好的性质
（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）
*二、效用函数存在性证明。 请参考教材
三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1?（2，4）时，其需求为x1?（1，2）。当价格为p2?（6，3）时，其需求为x2?（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
如果x2?（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
解答：p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*2?4*1?8 消费束1偏好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*2?3*1?15 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 如果x2?（1.4，1）时：
p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*1.4?4*1?6.8 消费束1偏好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*1.4?3*1?11.4 消费束1在价格2的情况下买
不起。符合显示性偏好弱公理。
四、效用函数u(x1,x2)?x1，求瓦尔拉斯需求函数
maxu(x1,x2)?x1解答：
s.t.p1x1?p2x2?w从效用函数u(x1,x2)?x1可知商
品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，x2?0，x1?w p1或者由maxu(x1,x2)?x1maxu(x1,x2)?maxs.t.p1x1?p2x2?w,可得到
w?p2x2ww?，此时x2?0，x1?(源于消费束的非负限制)p1p1p1实际上，这是一个边角解，
x2
x1
??1?u(x,x)?(x?x1212)，其中0???1；这就是常（或不五、设效用函数
变）替代弹性（CES）效用函数。求： （1）瓦尔拉斯需求函数； （2）间接效用函数；
（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；
（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的； （5）验证罗伊恒等式； （6）求希克斯需求函数； （7）求支出函数；
（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。
（9）验证hi(p,u)?xi(p,e(p,u))（对偶定理）
（1）求瓦尔拉斯需求函数 列出拉格朗日函数：
?1?L(x1,x2,?)?(x1??x2)??(y?p1x1?p2x2)
三个一阶条件：
?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x1???1?0?x1；
?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x2???2?0?x2；
?L?y?p1x1?p2x2?0??
整理，得：
x1?x2(p11(??1))p2；y?p1x1?p2x2
求解，得：
(??1)1(??1)p1yp1y2x2??/(??1)x1??/p(??1)?/(??1)?/(??1)p?pp1?p212；
上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义r??(??1)，便可将瓦尔拉斯需求函数化简为：
r?1p1r?1yp2yx1(p,y)?rx2(p,y)?rrrp1?p2；p1?p2
（2）求间接效用函数
将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数：
v(p,y)?[(x1(p,y))??(x2(p,y))?]1?
r?1p1r?1y?p2y?1??[(r)?()]r?1rrrrp1?p2p1?p2?y(p1r?p2)
（3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性；
r?1r) v(tp,ty)?ty((tp1)r?(tp2)r)?1r?y(p1r?p2
?v(p,y)
（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得：
?v(p,y)r?1r?(p1r?p2)?0?y
?v(p,y)r(?1r)?1??(p1r?p2)ypir?1?0,i?1,2?pi
（5）验证罗伊等式：
间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1！
r(?1r)?1?v(p,y)?pi?(p1r?p2)ypir?1(?1)[]?(?1)r?1r?v(p,y)?y(p1r?p2)ypir?1?r?xi(p,y),i?1,2rp1?p2
（6）求解支出最小化问题
minx1,x2p1x1?p2x2?1?u?(x1??x2)?0
s.t.其拉格朗日函数为：
?1?L(x1,x2,?)?p1x1?p2x2??[u?(x1??x2)]
三个一阶条件为：
?L?(1/?)?1??1?p1??(x1??x2)x1?0?x1；
?L?(1/?)?1??1?p2??(x1??x2)x1?0?x2；
?L?1/??u?(x1??x2)?0??
通过消去
?，这些式子被简化为：
?1/??(x1??x2)
x1?x2(令rp11/(??1))p2；u??(??1)，可解出希克斯需求函数：
r(1/r)?1r?1h1(p,u)?u(p1r?p2)p1
r(1/r)?1r?1h2(p,u)?u(p1r?p2)p2
（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数：
e(p,u)?p1h1(p,u)?p2h2(p,u)
r(1/r)?1r?1r(1/r)?1r?1r1/r?up1(p1r?p2)p1?up2(p1r?p2)p2?u(p1r?p2)
（8）从间接效用函数推导出支出函数
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将u替换为v(p,y)，将e(p,u)替换为y，解出v(p,y)。
r1/rr?1/ry?v(p,y)(p1r?p2)?v(p,y)?y(p1r?p2)（9）瓦尔拉斯需求函数为：
p1r?1yx1(p,y)?rrp1?p2，将y替换为支出函数得：
r1/rp1r?1e(p,u)p1r?1u(p1r?p2)x1(p,y)??rrp1r?p2p1r?p2
r(1/r)?1?p1r?1u(p1r?p2)?h1(p,u)
1六、效用函数u(x1,x2)?(x1?x2)，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案：
???