正余弦定理常见解题类型

1． 解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

例1 已知在△ABC中，?A?45，a?2，c?6，解此三角形． 解：由余弦定理得b2?(6)2?26bcos45?4，

从而有b?3?1．

又(6)2?b2?22?2?2bcosC，

1得cosC??，?C?60或?C?120．

2??B?75或?B?15．

因此，b?3?1，?C?60，?B?75 或b?3?1，?C?120，?B?15．

注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．

2． 判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：

b2?c2?a2a2?c2?b2A?B?C??；利用余弦定理公式cosA?， ，cosB?2bc2aca2?b2?c2，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识cosC?2ab来解决问题．

例2 在△ABC中，若b2sin2C?c2sin2B?2bccosBcosC，判定三角形的形状． 解：由正弦定理

abc???2R，R为△ABC外接圆的半径， sinAsinBsinC可将原式化为8R2sin2Bsin2C?8R2sinBsinCcosBcosC，

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∵sinBsinC?0，

?sinBsinC?cosBcosC，即cos(B?C)?0．

?B?C?90，即A?90，故△ABC为直角三角形．

3． 求三角形中边或角的范围 例3 在△ABC中，若?C?3?B，求

c的取值范围． b解：∵?A??B??C??，??A???4?B．

?0??B??1．可得0?sin2B?． 42csinCsin3B又∵???3?4sin2B，

bsinBsinB?1?3?4sin2B?3．故1?c?3． b点评：此题的解答容易忽视隐含条件?B的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．

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4． 三角形中的恒等式证明

根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在△ABC中，若a2?b(b?c)，求证：A?2B．

a2?c2?b2bc?c2b?ca证明：∵cosB?， ???2ac2ac2a2ba2a2?2b2b2?bc?2b2c?b． ?cos2B?2cosB?1?2?2?1???224b2b2b2b2b2?c2?a2b2?c2?(bc?b2)c?b又∵cosA?， ??2bc2bc2b?cosA?cos2B，而A，B是三角形内角，?A?2B．

一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．

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