平面向量数量积的几何解释
2 0 1 4年第 5 3卷第 9期
数学通报
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平面向量数量积的几何解释朱胜强(南京外国语学校 2 1 0 0 0 8 )
所以 c ( n+ 6 )一C a+ c b,
所以 (口+ 6 ) c— a c+ b C .
现行其它版本的课标教材，有关向量数量积的几何意义及分配律的证明，也基本上采用类似
的方法 .但教学中发现，数量积的几何意义其“几何味”不是很浓 .
名义上为几何意义，但指的却是两个数的乘积.虽然向量 a的长度 I a I与 b在 a的方向上的投影都可以从图上看出来，但它们的积并未通过几
何直观呈现 .而“长度”与“投影”积的大小如何，与两个向量的模及两个向量的方向有何关系，更是
无从知晓.因此，它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用.图 1
此外，解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念 .向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起，学生很容易混淆 .虽然前面曾用单位圆中的三角函数线
由此可知 a 的几何意义是：数量积 a 等于 a的长度 f a f与 b在 a的方向上的投影 f b[ . c o s 0
的乘积. 运用数量积的几何意义，数量积对向量加法运算分配律可有如下说明： 如图 2,任取一点 O,作一 C-
表示数量，但教学中只是一带而过，学生对其与向量等概念之间的区别与联系并不十分清楚.向量的数量积有没有较直观的几何解释呢？ 笔者在教学中曾对此进行了探索，下面谈一谈自
一a,
一b,
A
己的一点想法，供大家参考 .1 向量数量积的几何解释设有非零向量 a, 8 .在平面内任取一点 0,作
一n, 一 8 .将线段 O A绕点 O按逆时针方
向旋转 9 0。,得线段 O A .则且互相垂直.
与的模相等，
设向量 a, 6的夹角为 .当 0。 < 9 0。时， B o A一 9 0。一；或BOA一9 0。+ .
总有 c o s 0一s i n ( 9 0。一 )一s i n ( 9 0。+ )所以一s i n￣B O A .
【 C
『『 n+6 I C O S 0￣1 C l l a 1 c o s 0 1+l c l l b l c o s 0 2,
故口 b— l a I 1 b l c o s 0
平面向量数量积的几何解释
4 2一
数学通报I O B1 .} O A J s i n B 一S n (粥 B .
2 0 1 4年第 5 3卷第 9期
O BB A“‘ 0到 B的面积”为负数，其绝对值等于平行四边形 O B B A 的面积.
此时， n b表示平行四边形 O BB A 的面积 (如图 3 ( 1 ) ( 2 ) ) .
若萌与成 9 0。角，平行四边形 O B B A 变一
当 0— 9 0。时，/B O A一 9 0。一 0=:= 0。,或B0A一9 0。+一 1 8 0。,
成了线段，记“ 0到 B的面积”为0 .因此， n b就是平行四边形 O BB A 的“ 0到 B的面积” .
总有 c o s 9 0。一0一s i n B0 A .
故
g b— J a I f b f c o s 9 0。一
观察发现，若( 为向上方向，则当< 9 0。 时，平行四边形 O BB A 在O A 的右侧，为所指的一侧；当> 9 0。时，平行四边形 O BB A 在
J OBI .J O A f s i n B O A .
此时，平行四边形 OB B A 好像被“压扁”成一条线段，面积变为 0 . 当 9 O。<< 1 8 0。时， B 0 A 一 0— 9 0。或B0A一 27 0。~ 0,
O A的左侧，非0所指的一侧 .因此，“ 0到 B的面积”的正负可由其在线段 O A 的哪一侧直观地看出.
总有 c o s 0一一s i n ( 一9 0。 )一一s i n ( 2 7 0。一 )=:=一 s i n BOA .
其实，上述几何解释与教材介绍的方法本质上是一致的.如图 4,过 B向直线 O A引垂线，垂足记为 B .线段 OB 为平行四边形 OB B A 的高.又1 0 1一} a},所以曰
故 n b— l a『 J b l C O S 0===一
{ O B1 f O A 1 s i n B ( ) A 一一S口 B
此时，口 b表示平行四边形 O B B A 面积的相反数 .(如图 3 ( 3 ) (
4 ) ) .
/l
p
B a A
图 4
( 1 )
( 2 )
当< 9 O。时， n =I n l ({ b l c o s 0 ) I o - X" l l O B {一5口 ( ) B B, ,;一
当0>9 0。时， a 6一J口 1. (} b l c o s 0 ) J O - a *} f O B J一一：一
SD∞口，^, .
2帮学生直观感知向量的数量积( 3 )图 3
( 4 )
教学中，借助向量数量积的几何解释，可让学生直观地感知向量 a, b的变化对 n b的影响. 若』 a J, l b I固定不变，仅改变 a, b的夹角，则可发现对平行四边形的面积及其所处的位置的影响.
为了让平行四边形 O B B A 也能表示负数， 此处引入平行四边形“ 0到 B的面积”这一说法.
将平行四边形 O B B A 及其内部看成是由线段O A 按向量 0百方向平移至 BB 所形成的平面图形 .
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I—l z 一z I .
[ M] .北京：北京师范大学出版社， 2 0 0 4, 7 5张景中，黄楚芳 .普通高中课程标准实验教科书 (必修 )数学
所以 S△ B一寺 f z 1 Y 2一x 2 y l f .教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量 .在教材面前， 教师并非始终是被动的接受者 .需要在准确把握
第二册 E M] .长沙：湖南教育出版社， 2 O l O, 86国家数学课程标准研制工作组 .普通高中数学课程标准(实
验) E s 3 .北京：人民教育出版社， 2 0 0 3, 4
数学内容本质的情况下，
创造性地使用教材，让内容的呈现方式更符合学生的认知特点，便于学生参与到知识的形成过程中来 .