2019版高考数学（理科）总复习

7.3 解析几何(压轴题)

命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向

1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).

由得x0=x,y0=y.

因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),

则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1.

又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. (1)证明由题知F.

设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R.

记过A,B两点的直线为l,

则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ.

(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),

则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由题设可得|b-a|,

所以x1=0(舍去),x1=1.

设满足条件的AB的中点为E(x,y).

当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1).

当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1.

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1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.

(1)求点B的轨迹E的方程;

(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0.

∵C(0,1),则, 在☉C中,∵DC⊥DB, ∴=0,∴-+y=0, 即x2=4y(y>0).

∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0). (2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y,

设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). ∵y=,∴y'=,

∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2). 由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x. ∵点P在这两条切线上, ∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,

即直线MN的方程为2(y-1)=tx, 故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).

2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值. 解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),

∴k1=,k2=, 又k1k2=-,∴=-, ∴=1(x≠±2),

∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).

(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故,S==S△PQO,

当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×; 当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),

设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立 解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, Δ=144(k2+1)>0, 故|PQ|=|x1-x2|=,

点O到直线PQ的距离d=,

S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.

3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P. (1)求点P的轨迹E的方程;

(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点). ①设W(x0,y0),证明:<1;

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②求四边形QRST的面积的最小值.

(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,

由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1.

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抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.

(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).

由得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2=,x1x2=.

因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.

因为y1+-2x1= =

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