哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备
7.5 非线性特性的描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年 首先提出的。 描述函数法的基本思想 非线性环节 正弦输入信号一定假设条件1
一次谐波 分量近似
等效 频率 特性
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基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性 基波 振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等 的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率 称为基本频率。 谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为 谐波 谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波， 频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。 谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正 谐波分析 弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。2
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描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
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7.5.1 描述函数的基本概念reN ( A)
y
-
G (s)
c
N ( A)
非线性环节， 是几个物理部件的等效非线性。
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用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设： 系统只有一个非线性环节； 假设非线性环节是时不变 定常 时不变的(定常 时不变 定常的); 非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波 分量。 非线性环节N后面的线性环节必须具有低通 滤波特性； 假设非线性特性关于原点对称(奇函数 奇函数)。 奇函数5
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e(t ) = A sin ωt∞
非线性环节
y (t )
y (t ) = Y0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = Y0 + ∑ Yn sin ( nωt + φn ) = ∑ Yn sin ( nωt + φn )n =1 ∞ n =1 n =1 ∞
一次谐波 分量近似
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )
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在一定的近似条件下， 非线性元件的特性与通过 频率特性描述的线性元件的特性相类似。 非线性环节
e(t ) = A sin ωt
y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )输出基波分量
复变函数
Y1 jφ1 N ( A) = e A7
称为描述函数 描述函数。 描述函数
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描述函数与线性元件的频率特性不同， 一般是 输入正弦振幅
A 的函数， 记为 N ( A) 。
当非线性元件具有储能特性(即N的特性不是用 N 代数方程，而是用微分方程描述)时，描述函数才是
A与 ω 的函数，记为：N ( A, ω )
。
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r
e
-
N ( A)
y
G (s)
c
c = N ( A)G ( jω )e e = r c 消去
e 得 [ N ( A)G ( jω ) + 1] c = N ( A)G ( jω )r9
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当外部输入为零，即
r =0
时，
[ N ( A)G( jω ) + 1] c = 0考虑非平凡情形，即 c ≠ 0 时
N ( A)G ( jω ) + 1 = 0这是系统存在极限环的必要条件 必要条件。 必要条件 上式也称为非线性系统的特征方程
非线性系统的特征方程。 非线性系统的特征方程
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7.5.2 描述函数的计算给定非线性系统方块图如下：
r
e
-
N ( A)
x
G (s)
c
非线性元件的正弦输入为
e(t ) = A sin ωt11
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非正弦周期输出：
x(t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = A0 + ∑ X n sin ( nωt + φn )A 其中： n =n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ ππ
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B2 n
2 n
An φn = arctan Bn
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图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
=0
输出基波分量为
x1 (t ) = A1 cos ωt + B1 sin ωt
= X 1 sin (ωt + φ1 )
A1 = B1 =
1
π1
∫
2π
0 2π
x(t ) cos ωtdωt x(t ) sin ωtdωt2 1
∫ π2 1
0
X1 = A + B
A1 φ1 = arctan B1
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非线性特性的描述函数为：
N ( A) =从而有：
A +B e A2 1 2 1
…… 此处隐藏477字 ……
1 + N ( A)G ( jω ) = 0或：
1 G ( jω ) = N ( A)
称为非线性特性 的负倒描述函数 负倒描述函数20
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若正弦函数 可使式
A0 sin ω0t 的振幅 A0 及角频率 ω0
1 + N ( A)G ( jω ) = 0 成立，则正弦函数 A0 sin ω0t 是此特征方程的一个解，即系统存在一个振幅为 A0、角频率为ω0 的等幅振荡， 或者说非线性系统的自持振荡。 这相当于线性系统开环频率特性 G ( jω ) 通过其 稳定临界点 ( 1, j 0) 的情形。21