第二学期《概率统计》试题（五）

一、填空题

1）设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为?2,那么当n充分大时,近似有X～ 或

nX??

姓名_______________班级________________学号__________________

?～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意

X??的n，都精确有X～ 或n～ . ?2）设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且EXi??，DXi??那么

1n2Xi依概率收敛于 .

2(i?1,2,???)

?ni?13）设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2, 则当C? 时CY～?2(2)。

4）设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，

样本方差=

5）设X1,X2,…Xn为来自正态总体??N(?,???1n2)的一个简单随机样本，则样本均值

?ni?1?i服从

二、选择题

1）设X～N(?,?2)其中?已知，?2未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量 的是

3A）X1?X2?X3 B）max{X1,X2,X3} C）?i?1Xi2?2 D）X1??

2）设X～?(1,p) ,X1,X2,???,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是 A）当n充分大时，近似有X～N?p,??p(1?p)?? n?B）P{X?k}?Cnp(1?p)C）P{X?knkkkkn?k,k?0,1,2,???,n

,k?0,1,2,???,n

}?Cnp(1?p)n?kkkn?kD）P{Xi?k}?Cnp(1?p),1?i?n

3）若X～t(n)那么?～

A）F(1,n) B）F(n,1) C）?(n) D）t(n)

24）设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?)简单随机样本，X是样本均值，记

22 1

S21??(Xn?1i?11ni?X)，S222?1ni?(Xni?1?X)，S223??(Xn?1i?11ni2??)，

S?241ni2??)，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是

?(Xni?1A) t?X??S1/n?1 B) t?X??S2/n?1 C) t?X??S3/n D) t?X??S4/n

5）设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n+m的样本，则统计量

nm??iV?ni?1n?m2服从的分布是 ?i2?i?n?1 A) F(m,n) B) F(n?1,m?1) C) F(n,m) D) F(m?1,n?1) 三、解答题

1）设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

2）一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

2

3）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

24）设总体X服从正态分布，又设X与S2分别为样本均值和样本方差，又设Xn?1?N(?,?)，

且Xn?1与X1,X2,???,Xn相互独立，求统计量

Xn?1?XSnn?1的分布。

3

5) 在天平上重复称量一重为?的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

…… 此处隐藏0字 ……

N(?,0.2)，若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使P2?Xn?a?0.1?0.95成立，

?求n的最小值应不小于的自然数？

四、证明题

2 设 X1,X2,???,Xn是来自总体X的简单样本，E(Xi)?ai(i?1,2,3,4)存在(a4?a2?0)，

证明当n充分大时，

1?nXi近似服从正态分布。

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