§7-2 傅立叶变换的性质
这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质
设F
F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或
f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)
F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’
该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1
二。位移性质 ： (1) 或 (2)
设F
f t F , (
则有：
F f t a e j a F F 1
F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1
e
j a
F f t a
a为实数 )
(7-2-2) (7-2-2)’ (7-2-3) (7-2-2)’
F 0 e
j 0t
f t
证：(1)由傅氏逆变换定义得
1 j a j t F e F F e e d 2 1 F e j t a d 1 j a
2
令 1
x t a
1 F F 2 性质(1)得证。
F e j x d f x f t a
(2) 由傅氏变换定义，同理得
F
e
j 0t
f t f t e j 0t e j t dt
f t e
j 0 t
dt F 0
说明：性质(1)表明时间函数
f t
沿t轴向左或向右位移
a或
个单位，对应的傅氏变换将分别乘以因子
F 沿轴向左或向右位移 0 个单位，对应的傅氏逆变换等于 j 0 t j 0t 原来的函数 f t 分别乘以因子
e
j a
e
j a
,因此称之为时域上的位移性质。性质(2)表明频谱函数
e
或
因此称之为频域上的位移性质。当 F 由欧拉公式 一个推论：
f t F 时，
e
.
e
j t
cos t sin t 和性质(2)还可得到2
f t cos 0 t 1 [ F 0 F 0 ] F f t sin 0 t 1 j[ F 0 F 0 ] F我们把它也称为频域上的位移性质。2
(7-2-4) (7-2-4)’
e 和F e cos 2t 例1:由 F t 2
t
2
e
/ 42
计算F
e
t a 2
。 解：由时域上的位移性质(7-2-2)式得
F e
(t a )2
e 2
j a ( 2 / 4 )
由频域上的位移
性质(7-2-4)式得
Fe
t 2
cos 2t
[e
( 2 ) 2 / 4
e
2 2 / 4
]
三.微分性质(1) (2) 则 若
F f t j F ' 1; 1.
t 时, f (t ) 0 ' f (t ) 存在且除有限个间断点外连续。
已知 F f t F ,若：
(7-2-5) (7-2-5)’
或 F j F f ' t j t 证：因为当 t f t e 于是有
f (t ) 0
. 故由分部积分法得
f (t )e
j t
06
F
f ' t f ' t e j t dt
f (t )e
j t
j f (t )e j t dt
j f (t )e j t dt j F 推论：已知 F(1)若
t
f t F ,若：时,
f
k
(t ) 0
k 0,1,2, , n 1
(2)
f n (t )
存在且除有限个间断点外连续。
则
F F
f 1
n
t ( j ) F n
(7-2-6)
或
( j )
n
F f
n
t
(7-2-6)’
同样方法，我们还可以推出象函数的微分性质： 已知
F
f t F F k
,若：
(1)若
时,( ) 0
k 0,1,2, , n 1
(2)
F ( )
n
存在且除有限个间断点外连续。
。 则 。 或
F
1
j Fnn
F 1
t f t t f t j F n nn n
(7-2-7)
对n=1有
F。 或
jF tf t '
F tf t jF '
(7-2-7)’
实际上我们经常用(7-2-7)式来计算F
t
n
f t
9
Ae t t 0 , A 0, 0 例1:对于指数衰减函数 f t t 0 0 , A 我们已知 F (由习题7.1第5题结果),求：
tf t 和 F t f t 。 显然， F 满足式(7-2-7)成立的全部条件，故有 A F tf t j jA ( j ) j F2F
j
F
t
2
f t
2
2
2A j F '' ( j )32
四。积分性质已知 Ft
f t F 即 F 0 0 则t
若
F
g t =F [ 1
g t f t dt t 0
t 1 F g t f t dt 或F j
1 f t dt] F j (7-2-8 由分部积分得
证：由于在
f (t )的连续点处有，g ' t f (t ) F F f t =F g ' (t ) g ' t e j t dt g (t )e j t
j g (t )e j t dt 11
又因为
lim g t limt
t
t
t
f (t )dt 0
lim g t f (t )dt f t e j 0t dt F 0 0
故
F 。
F
f t
= j F即
g t F
0 j g (t )e j t dt
g t
1 F j 12
2 A / 例1:设 f t 2 A / 0 称 g t
0 t /2 / 2 t 0 t /2
t
A 2 At / f (t )dt A 2 At / 0
0 t /2 / 2 t 0 t /2g t A
为单个三角形脉冲，见图(7-4)f t 2A/τ
-0.5τ -2A/τ
0.5τ
t
-0.5τ
o
0.5τ
t
图7-413
显然 ，并且在 且gt
f t 的连续点处有 g ' (t ) f t 。又因为
t f t dt t 0 F f t e j t dt
f t
为奇函数，故有
4 Aj
/2
0
4 jA sin tdt 1 cos 2 1 cos 2
于是由积分性质得
F
g t
1 4A F j 2
…… 此处隐藏0字 ……
由于积分性质的条件
g t f t dt t 0 (即F t
0 0)
只有少数函数能满足，该性质在应用上受到很大限制。当该条件不满足时 (即 F
0 0
),我们有一个推广性的结论，需要在下一节相关知识介
绍了之后，才能得到。