2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

（2010上海文数）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小

题满分7分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出

用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l?1.2?2r(0

S??3?(r?0.4)2?0.48?，

所以当r?0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r?0.3时，l?0.6，作三视图略．

（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）

如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE?EB?AF?2FD?4.沿直线EF将 VAEF翻折成3VA'EF，使平面A'EF?平面BEF.

（Ⅰ）求二面角A?FD?C的余弦值；

（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形

'MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。 （Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH，因为AE=AF及H是EF的中点，所以AH?EF, 又因为平面AEF?平面BEF. 如图建立空间直角坐标系A-xyz

'则A（2，2，22），C（10，8，0），

'''''F（4，0，0），D（10，0，0）.

?

故FA=（-2，2，22），FD=（6，0，0）. 设n=（x,y,z）为平面A'FD的一个法向量， -2x+2y+22z=0 所以

6x=0.

?'

?取z?2，则n?(0,?2,2)。

又平面BEF的一个法向量m?(0,0,1)，

故cos?n,m??nm3。 ?nm33 3所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）解：设FM?x,则M(4?x,0,0)，

因为翻折后，C与A重合，所以CM?A'M，

222222（22） 故， (6?x)?8?0=（?2?x）?2?，得x?21， 4 经检验，此时点N在线段BC上，

所以FM?方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H,AF的中点G,连结

21。 4A'G,A'H,G。H

因为A'E=A'F及H是EF的中点，

所以A'H?EF

又因为平面A'EF?平面BEF， 所以A'H?平面BEF, 又AF?平面BEF,

故A'H?AF，

又因为G、H是AF、EF的中点， 易知GH∥AB，

所以GH?AF， 于是AF?面A'GH，

所以?A'GH为二面角A'?DH?C的平面角， 在RtA'GH中，A'H=22，GH=2，A'G=23 所以cos?A'GH?3. 33。 3故二面角A'?DF?C的余弦值为（Ⅱ）解：设FM?x,

因为翻折后，C与A'重合，

所以CM?A'M，

而CM?DC?DM?8?(6?x)，

22222A'M2?A'H2?MH2?A'H2?MG2?GH2 ?(22)2

得x?21， 421。 4经检验，此时点N在线段BC上， 所以FM?

（2010全国卷2理数）（19）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1?AC1?B1的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参考答案】 (19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

…… 此处隐藏0字 ……

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.