第6讲1.考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或 积、角的大小或三角函数值等综合考查. 2.考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题.
正弦定理和余弦定理
【2014年高考会这样考】
正弦定理和余弦定理
抓住3个考点
在△ ABC中，已知a ,b和A时，解的情况三角形中常用的面积公式，
助学微博 考点自测
考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 【训练1】
突破3个考向
考向二 判断三角形形状 考向三 与三角形面积有关的问题
【例2】 【训练2】
【例3】 【训练3】
揭秘3年高考 活页限时训练
解三角形与其他知识的交汇问题
A级
B级
选择题 选择题 1、 、 1 填空题 填空题 2 、 2、 解答题 解答题 3、 3、
考点梳理1.正弦定理和余弦定理在△ABC 中，若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, a b c = = =2R sin A sin B sin C 内容 b2=a2+c2-2accos B, (R 为△ABC 外接圆半径) c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= ; 2bc (1) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c a2+c2-b2 常见变形 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; cos B= ; 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab续表 解决 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(1)已知三边，求三个角； 的问 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边 (2)已知两边和它们的夹角， 题 和其他两角 求第三边和其他两角
考点梳理2.在△ABC 中，已知 a,b 和 A 时，解的情况A 为锐角 A 为钝角 或直角
图形 关系 a<b sin A a=bsin A bsin A<a<b 式 解的 无解 一解 两解 个数
a≥b 一解
a>b 一解
a≤b 无解
3.三角形中常用的面积公式1 1 1 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高). (2)S= bcsin A= absin C= acsin B. 2 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2
助学微博一个定律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值 也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A>B a>b sinA>sinB.
二种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转化。
考点自测1.(2012· 湖北改编)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 2.(2012· 天津)在△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 7 7 7 24 8b=5c,C=2B,则 cos C=( ).A. B.- C.± D. 25 25 25 25 3.(2013· 三亚模拟)在△ABC 中，若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状是 ( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角
形 D.等腰直角三角形 π 4.在△ABC 中，若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大小为________. 3 5.(2013· 郑州调研)已知圆的半径为 4,a,b,c 为该圆的内接三角形的三边， 若 abc=16 2,则三角形的面积为________.
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1 C
2 A
3B
4
π/2
5 2
考向一 利用正、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)(2012· 北京)在△ABC 中，若 a=2,b+c (1)利用余弦定理； 1 (2) 利用正弦定理和 =7,cos B=- ,则 b=________. 4 三角形内角和定理求 (2)(2012· 重庆)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 解. 3 5 a, b, c, 且 cos A= , cos B= , b=3, 则 c=________. 【方法锦囊 】 5 13 2 解(1) 根 据 余 弦 定 理 代 入 b = 4 + (7 - b)2 - 1 2×2×(7-b)· -4 ,
【审题视点 】
解得 b=4.
4 12 (2) 由已知条件可得 sin A= ,sin B= , 5 13 而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B56 b c = , 根据正弦定理 = 得 65 sin B sin C 14 14 答案 (1)4 (2) c= . 5 5
(1) 正弦定理是一个 连比等式，在运用此 定理时，只要知道其 比值或等量关系就 可以通过约分达到 解决问题的目的，在 解题时要学会灵活 运用. (2) 运 用 余 弦 定 理 时，要注意整体思想 的运用.
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π 2ab 2ab b3=c3 矛盾，所以假设不成立，所以 C< ,即③正确.④因为(a+b)c<2ab,所以 c< ≤ = ab,即 2 a+b 2 ab 2 2 2a2b2 2 2 2 2 2 2 2 2a b ab>c ,转化为命题①,故④错误.⑤因为(a +b )c <2a b ,所以 c < 2 ≤ =ab,即 ab>c2,转化为 a +b2 2ab 命题①,故⑤错误.答案 ①②③