对策问题(四年级)

专题简析：

同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。

例题1. 两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？

分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、?、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.

但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2?），因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？） 例题2. 两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。

先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。

设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保证获胜。

所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。

例题3. 有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？

从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，

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这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。 例题4.. 桌面上有1999根火柴，甲乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜。问获胜的策略是什么？

解：甲先取1根，此后乙若取a根（1≤a≤2），则甲取3－a根，如此下去甲必胜。

例题5. 甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜。甲欲取胜有何策略？

解：甲欲获胜先报7，此后乙若报a（1≤a≤8）,甲就报9－a，如此下去甲必获胜。

也就是说：先报的第一次报到7,以后先报者根据对方报的数再报“凑够9”的数，这样先报者就先报到88了。 练习1：

1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？

2、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？

3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？

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5、图中是一张2×9棋盘。甲置白子于A位，乙置黑子于B位。随后两人轮流走子，每一步可沿一条横线或一条竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：

（1）不允许和对方棋子处于同一条横线或竖线。 （2）不能越过对方棋子所在的横线或竖线。

（3）轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？

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