北航数学竞赛答案(2008)
一. 求 dx sinx x )12n (sin I 0
n ?π-= 解 dx sinx x )12n (sin I 0
1n ?
π++= dx sinx sinx cos2nx cosx sin2nx 0?
π+= =dx cosx sinx sin2nx 0?π-dx sinx sinx cos2nx 0
?π dx sinx x )12n (sin 0
?π
-= =n I
所以,n I =π=1I
二. 设)x (f 在[0,1] 上连续,且 ?=1
01f(x)dx , 证明?π≥
+10
…… 此处隐藏0字 ……
24f(x)dx )x (1. 证明 210f(x)dx 1??? ??=?21022dx x 11x 1f(x)???
? ??+?+=? ()?????? ??+?+≤10221
022dx x 11dx x 1)x (f 4
dx )x 1)(x (f 1
022π?
+=? 所以
?π≥+1
024f(x)dx )x (1