第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载q；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
楼板AB大梁BABA柱柱ABCCa房屋建筑中的大梁b简易挡水结构中的斜梁桥面蜗轮A蜗杆纵梁BPABm=PdP1AP2BABc小跨度公路桥地纵梁d机械传动装置中的蜗杆图4-1 工程实际中的受弯杆
1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲。在工程实际中受．．弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴．．
线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。它是工程中最常见也最基本．．．．的弯曲问题。
1.3 梁的简化——计算简图的选取
工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图。 ．．．．选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
纵对称轴P2P1称向对面梁轴线 梁轴变形曲线与外力在同一平面内图4-2 梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座： （a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a）所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用YA表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b）所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用XA、YA表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c）所示。这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量XA、YA及mA来表示。 图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
梁A枢轴辊轴支承垫板AAYAa活动铰支座梁AAXAARYAb固定铰支座XAmAAYAAAc固定端支座图4-3 三种典型支座
1.4 梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式： （1）简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a））； （2）外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b），（c））； （3）悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d））。
Pq() 简支梁P1P2() 两端外伸梁P() 一端外伸梁() 悬臂梁图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁。 ．．．
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a）为例，梁在外力（荷载P和反力YA、YB）作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4－5（b）可知，左脱离体A端原作用有一向上的支座反力YA，要使它保持平衡，由?Y?0和
?M?0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M。
内力分量Q位于横截面上，称为剪力；内力偶矩M位于纵向 ．．
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3q得 M1?m?YA?a?qa2?qa2?a2
44求得的Q1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。 （3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q2和弯矩M2均设为正，如图4-7（c）。
由?Y?0 Q2?qa?0 得 Q2?qa
由 ?M2?0 ?M2?qa?qa2得 M2??
2a?0 2（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力 取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0，则3-3截面上Q3＝0，M3＝0。
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则