选修4-1
几何证明选讲
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第1讲
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相似三角形的判定及有关性质
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解平行线分线段成比例定理. 2. 会证明、应用直角三角形射影定理.选修4-1 第1讲第3页
1个重要应用 射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的 高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边长、面 积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问题.
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2点必须注意 1. 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被 平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，
有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.2. 证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中 给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换 或等比替换.
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3条必会思路 1. 判定三角形相似时，条件中若有一对角相等，可找另一 对角相等或找夹这对角的两边成比例.
2. 条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比. 3. 条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相 等或两个三角形的底和腰的比对应相等.
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课前自主导学
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1. 平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段________,那么
在其他直线上截得的线段________.(2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______. ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必 ________.
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(3)平行线分线段成比例定理及其推论 ①三条平行线截两条直线，所得的对应线段________.
②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________.
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平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？
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如图，在 ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3,AE
交BD于F,则BF∶FD等于________.
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2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理 定理 判定定理1 判定定理2 内容 ______对应相等，两三角形相似 ______对应成比例且______相等，两三角 形相似
判定定理3
______对应成比例，两三角形相似
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(2)相似三角形的性质定理 定理与推论 性质定理1 内容
相似三角形对应高的比、对应中线的比和 对应角平分线的比都等于________ 相似三角形周长的比等于________ 相似三角形面积的比等于相似比的______相似三
角形外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积比等于相似比的 ______
性质定理2推论
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(1)Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角 形与△ABC相似，则x的值为________. (2)如图所示，∠C=90°,∠A=30°,E是AB的中点， DE⊥AB于E,则△ADE与△ABC的相似比是_______.
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3. 直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理 内容 如果两个直角三角形________对应相等，那 判定定理1 么它们相似 如果两个直角三角形的________对应成比 判定定理2 例，那么它们相似 如果一个直角三角形的________和一条直角 判定定理3 边与另一个三角形的________和一条直角边 对应________,那么这两个直角三角形相似 定理
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(2)直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的________;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 ________.
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已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC =6,DB=5,则AD的长为________.
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1. 相等 比例
也相等
平分第三边
平分另一腰
成比例
成
想一想：提示：正确.如果一条直线截三角形的两边或两
边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边.该命题正确. 填一填：2∶5
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2.两角 两边 夹角 三边 相似比 相似比 平方 平方 填一填：(1)2 3. (2)1∶ 3
有一个锐角 两条直角边 斜边 斜边 成比例 比
例中项 比例中项 填一填：4
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核心要点研究
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例1
[2013·正定模拟]如图，△ABC
中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于 F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,求 DF的长. [审题视点] 根据平行线分线段成比例定理，借助中间比
例式进行转换，即可得出结果.
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