第2讲 两条直线的位置关系
分层训练A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2012·扬州调研)“直线：x＋(a－1)y＋1＝0与直线：ax＋2y＋2＝0垂直”的充要条件是________．
2解析 由a＋2(a－1)＝0，得a＝3. 2
答案 a＝3 2．(2012·泰州模拟)若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是________．
1解析 当三条直线交于一点时，a＝；当x＋y＋1＝0与ax＋3y－5＝0平行时，
31
a＝3；当2x－y＋8＝0与ax＋3y－5＝0平行时，a＝－6.故a满足的条件是a≠3且a≠－6且a≠3.
1
答案 a≠3且a≠－6且a≠3
3．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________．
解析 所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的11
斜率为－，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
22答案 x＋2y－5＝0
4．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．
?1＋m?
解析 由已知条件可知线段AB的中点?，0?在直线x＋2y－2＝0上，把
?2?中点坐标代入直线方程，解得m＝3.
答案 3
5．(2011·南通、扬州、泰州二模)若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．
解析 由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1. 答案 1
11
6．已知a＋b＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．
解析 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝
a＋2b1?11?
＝(a＋2b)?a＋b?＝
??55
35＋2102ba?11?22
?3＋a＋b?≥(3＋22)＝，当a＝2b且a＋b＝ab，即a＝1
5?5?5＋2，b＝答案
2＋2
2时取等号．
35＋210
5
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直线l1过点(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. (2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
a
∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即b＝1－a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， 4
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b＝b. 2
故a＝2，b＝－2或a＝3，b＝2.
8．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， ∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
又∵l过点P(0,1)．所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
分层训练B级 创新能力提升
1．(2012·苏州二模)若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有________个．
解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于1
同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－6；若l2∥l3，则m的值不存2
在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或3，故实数m的取值最多有4个． 答案 4
2．(2012·绍兴模拟)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l211
的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝2×2×(4－k)＋2×4×(2k2＋2)＝1
4k－k＋8，故面积最小时，k＝8. 2
1答案 8 3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin B)＝lg(sin A)＋lg(sin C)，则两条直线l1：xsin2A＋ysin A＝a与l2：xsin2B＋ysin C＝c的位置关系是________．
sin2A
解析 已知2lg(sin B)＝lg(sin A)＋lg(sin C)，可得sinB＝sin Asin C，故sin2B＝
2
sin Asin Aa
，又sin Csin C＝c，所以两直线重合．
答案 重合
2
4. (2012·南通二模)如图，函数f(x)＝x＋x的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.
(1)证明：PM·PN为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
?2?
(1)证明 设P?x0，x0＋?(x0>0)．
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? ＝2x0?x0＋?＋2x?x0＋
x0?2x0??0?1?1?＋＝2＋2?x22?≥1＋2， ?0x0?
1
当且仅当x0＝x，即x0＝1时等号成立，
0
因此四边形OMPN的最小值为1＋2.
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