三重积分概念和计算1
三重积分概念与计算(1)1、三重积分定义；
2、三重积分在直角坐标下的计算；3、小结与练习.
三重积分概念和计算1
一、三重积分的定义:设 f ( x , y , z )是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1, v2 , , vn,其中 vi 表示第 i 个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 vi 上任取一点 ( i , i , i ) 作 ( 乘积 f ( i , i , i ) vi , i 1,2, , n) , 并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z )在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z )dv ,
三重积分概念和计算1
即
f ( x, y, z )dv lim f ( i , i , i ) vi . 0 i 1
n
其中dv 叫做体积元素. 在直角坐标系中，如果用三族分别平行于坐标面的平面来划分 , 则 vi xi yi zi .直角坐标系下三重积分记为n
f ( x , y, z )dxdydz lim f ( i , i , i ) vi . 0 i 1
其中dxdydz叫做直角坐标系中的体 积元素.
三重积分概念和计算1
1. 三重积分的计算I
积分区域是长方体b
同理，也有其 它 积分顺序.g d
f ( x, y, z )dxdydz
zN
dx dz f ( x, y, z )dya e c
=[a ,b ; c ,d ; e ,g]
z=g
dy dz f ( x, y, z )dxc
d
g
b
e
a
I=
dxdy b
g
eg
f ( x, y, z )dzM
z=e
dx dy f ( x, y, z )dza c e
D
d
化为一个定积分和 . 一个二重积分的运算 0.
c
dy
a
bx
D
P
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2. 三重积分计算I f ( x , y , z )dxdydz
积分区域是曲顶柱体zN
z2(x,y)
为图示曲顶柱体
I = dxdy z ( x , y ) f ( x, y, z )dzz ( x , y )
D
z1(x,y)M
0. .
y
Dx
P
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2. 三重积分计算I f ( x , y , z )dxdydz
积分区域是曲顶柱体z z2(x,y)
为图示曲顶柱体
I = dxdy z ( x , y ) f ( x, y, z )dzz ( x , y )
D
z1(x,y)
也化为一个定积分和 一个二重积分的运算
这种计算方法叫投影法 (先一后二法).
0
y
Dx
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注意1: 这种累次积分是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形.注意2: 三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对 x外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形 状和被积函数的特性(主要是几何体的形状，即往哪个坐标面 投影利于解题)。
一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 z y x; 投影到xoy面； 2、积分次序为 y z x; 投影到xoz面； 3、积分次序为 x y z; 投影到yoz面。
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例1.计算三重积分
I
x dxdydz
:平面 x= 0, y = 0 , z = 0,x+2y+ z =1 所围成的区域 .
先画图
z1
是曲顶柱体上
顶： z 1 x 2 y 下底： z = 0. . .
Dxy:x + 2y + z =1
x = 0, y = 0, x+2y =1 围成y1 2
x =0
y=00
Dxy1 21 x 2 y
D z =0xy 1x
y
0 1 x
I = dxdy 0D xy
xdz
1
0
xdx
1 x 2
0
dy
1 x 2 y
0
dz
1 48
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例2. 计算 I f ( x , y , z )dxdydz
:平面y=0 , z=0,3x+y =6, Ω 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. 不画立体图做三重积分y
是曲顶柱体
6
1 找出上顶、下底及投影区域 . 2 画出投影区域图.上顶： z 6 x y 下底： z = 0
. .
Dxy:
y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成.
I Dxy0
dxdy Dxy
6 x y
0
f ( x , y , z )dz
2
4
x
dy 6 0
2y 3 y 2 3 4
dx
6 x y
0
f ( x , y, z )dz
三重积分概念和计算1
:平面y=0 , z=0,3x+y =6, 例2. 计算 I f ( x , y , z )dxdydz 3x+2y =12 Ω和 x+y+z = 6所围成的区域.6 z
x+y+z=63x+y=6
0.
6
y
2
x
6
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:平面y=0 , z=0,3x+y =6, 例2. 计算 I f ( x , y , z )dxdydz 3x+2y =12 Ω和 x+y+z = 6所围成的区域.6 z
x+y+z=63x+y=6
0.
6
y
2
x
6
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例2. 计算 I f ( x , y , z )dxdydz6
:平面y=0 , z=0,3x+y =6, Ω 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. zx+y+z=63x+y=6
0.
6
y
2
x
6
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例2. 计算 I f ( x , y , z )dxdydz6
:平面y=0 , z=0,3x+y =6, Ω 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域. zx+y+z=63x+y=6
3x+2y=12
0.
6
y
2 4x
6
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1 x
0
dy
0
f ( x, y, z )dz
1
x