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一、问题的提出问题:有 限个连 续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
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例1 考察函数项级数x (x x) (x x ) (x x2 3 2 n n 1
)
和函数的连续性. 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，n
且 sn ( x ) x ,
得和函数：0 x 1, x 1.
0, s ( x ) lim s n ( x ) n 1,和函数 s ( x ) 在 x 1 处间断 .
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结论 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 并 且级 数 在 [a , b ] 上 收 敛 ， 其 和 函 数 不 一 定 在[a , b ] 上 收敛 .同样函 数项 级数的 每一 项的 导数及积 分所 成的 级数的和 也不 一定等 于他 们和 函数的导 数及 积分.
问题
对什么级数，能从每一项的连续性得出和
函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
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二、函数项级数的一致收敛性定义设 有 函 数 项 级 数 un ( x ) . 如 果 对 于 任 意n 1
给定的正数 ,都存在着一个只依赖于 的自 然 数 N , 使 得 当 n N 时 ， 对 区 间I 上 的 一 切
x,都有不等式 rn ( x ) s ( x ) s n ( x ) 成 立 ， 则 成 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 一 致n 1
收 敛 于 和 s ( x ) , 也 称 函 数 序 列 s n ( x ) 在 区 间I 一 致 收 敛 于 s( x ) .
上
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几何解释:只 要 n 充 分 大 ( n N ) ,在 区 间 I 上 所 有 曲 线 y sn ( x )将 位 于 曲 线
y s( x ) 与 y s( x ) 之 间 .
y
y s( x ) y s( x ) y sn ( x) y s( x )
o
I
x
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例2 研 究 级 数1 1 1 1 x 1 x 2 x 1 x n x n 1 1在 区 间 [ 0 , ) 上 的 一 致 收 敛 性 .
解
sn ( x )
1 x n
,
s ( x ) lim s n ( x ) limn
1 x n 1 x n
n
0
( 0 x )
余项的绝对值rn s ( x ) s n ( x ) 1 n ( 0 x )
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对于任给 0,取自然数N
1
,
则 当 n N 时 ， 对 于 区 间 [ 0 , ] 上 的 一 切 x ,
有
rn ( x ) ,
根据定义， 所 给 级 数 在 区 间 [ 0 , ] 上 一 致 收 敛 于 s ( x ) 0 .
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例3
研究例1中的级数2 3 2 n n 1
x (x x) (x x ) (x x
)
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 (0 ,1 )内 处 处 收 敛 于 和 s ( x ) 0 ,但并不一致收敛.
对于任意一个自然数 n , 取 x n sn ( x n ) x n n
1n
,于是
1
2
2
, 1 2 .
但 s( xn ) 0,
从而 rn ( x n ) s ( x n ) s n ( x n )
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只要取
1 2
, 不 论 n 多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
点 x n , 使得 rn ( x n ) ,
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续.n 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处 说明:
收敛于 s ( x ) 0 , 但 s n ( x ) 在( 0, 1 )内各点处收敛于零的“快慢”程度是不一致的. 从下图可以看出:
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y
y sn ( x ) xn 1
n
(1,1)
n 2
n 4
n 10 n 30
o注意：对于任意正数 一致收敛.
1
x[0, r ] 上
r 1,这级数在
小结
一致收敛性与所讨论的区间有关.
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一致收敛性简便的判别法：
定理
(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法) n 1
如 果 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 满 足 条 件 :
(1) (2)
un ( x ) an
( n 1,2 ,3 ) ;
正 项 级 数 an 收 敛 ,n 1
则 函 数 项 级 数 u n ( x ) 在 区 间I 上 一 致 收 敛 .n 1
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证
由 条 件 (2 ), 对 任 意 给 定 的 0 , 根 据 柯 西
审敛原理存在自然数N ,使得当 n N 时，对 于任意的自然数 p 都有
a n 1 a n 2 a n p
2
.
由 条 件 (1 ), 对 任 何 x I , 都 有
u n 1 ( x ) u n 2 ( x ) u n p ( x ) u n 1 ( x ) u n 2 ( x ) u n p ( x ) a n 1 a n 2 a n p , 2
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令 p ,则 由 上 式 得
rn ( x )
2
.
…… 此处隐藏913字 ……
x x0
u i ( x ) dx
由 于 N 只 依 赖 于 而 于 x0 , x 无 关 ，所以级数
i 1
x x0
u i ( x ) dx 在 [ a , b ]上 一 致 收 敛 .